2013年全国高考文科数学试题及答案-天津卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
   参考公式:
   ·如果事件A,B互斥, 那么
   
   ·棱柱的体积公式V=Sh，
   其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.
   ·如果事件A,B相互独立, 那么
   
   ·球的体积公式
   其中R表示球的半径.
   一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
   (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2},A = {x∈R|x≤1}, 则
   1. (B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1]

(2) 设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y－2x的最小值为

(A) －7(B) －4

(C) 1(D) 2

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为

(A) 7(B) 6

(C) 5(D) 4

(4) 设, 则 “”是“”的

(A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

(5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则

1. (B) 1

(C) 2(D)

(6) 函数在区间上的最小值是

(A)(B)

(C)(D) 0

(7) 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是

(A)(B)

(C)(D)

(8) 设函数. 若实数a,b满足, 则

(A)(B)

(C)(D)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

(9)i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .

(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .

(11) 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .

(12) 在平行四边形ABCD中,AD = 1, ,E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .

(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD中,AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB=AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 .

(14) 设a+b = 2, b>0, 则的最小值为 .

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

(15) (本小题满分13分)

某产品的三个质量指标分别为x,y,z, 用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,

(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;

(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

(16) (本小题满分13分)

在△ABC中, 内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知,a = 3, .

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求的值.

(17) (本小题满分13分)

如图, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 侧棱A₁A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A₁C₁的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A₁CD;

(Ⅱ) 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值.

(18) (本小题满分13分)

设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A,B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点. 若, 求k的值.

(19) (本小题满分14分)

已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.

(Ⅰ) 求数列的通项公式;

(Ⅱ) 证明.

(20) (本小题满分14分)

设, 已知函数

(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且证明.