2021浙江高考数学难不难
06月08日
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)
[试卷总评]
2013年安徽文科卷相对于2012年安徽文科卷的难度来说有所加大。
从试卷命题特点方面:(1)对主干知识(函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计)的重点考查,尤其是函数,考了四道小题,一道大题,而且函数小题两道是以压轴题的形式出现;(2)注重能力的考查:一方面在知识的交汇处命题,如第19题;另一方面重视对数学能力和思想方法的考查,如计算能力考查(第9,13,17,21题),转化思想的考查(第8,10,20题),数形结合的考查(第6,8,10题)等等;(3)注重理论联系实际,如第17题概率统计;(4)注重对创新意识的考查,如第21题。
从试卷难度方面:选择填空跟以往的试卷一样从易到难,但在做的过程中不是那么顺畅。第1题考查复数,难度不大;第2题考查集合的交与补以及不等式求法;第3题程序框图,简单;第4题充分必要条件,容易题;第5题古典概型,只要考生能够理解题意,基本没问题;第6题直线与圆的方程,考查圆中弦长的求法,第7题等差数列基本量的求解,简单;第11题考查函数定义域的求法,简单;第12题常规的线性规划题,难度不大;第14题,抽象函数解析式的求解,难度中等。选择题第8,9,10题,填空题第13,15题难度加大。第8题考查函数转化思想以及数形结合,难度很大,考生不一定能想到方法;第9题三角函数,对正弦余弦定理的考查,计算量大;第10题函数零点的考查,难度很大,不容易做好;第13题平面向量,数量积的运算,需要细心;第15题立体几何的截面问题,是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第16题三角函数:容易,主要考查恒等变形,三角函数图像变换,考生需注意图像变换时语言的描叙;大题第17题概率统计:难度不大,对计算的要求很高,在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好;大题第18题立体几何:难度中等,常规性的考查了三棱锥体积的求法,在选择顶点的过程中,需要考生注意看清垂直关系;大题第19题数列:综合性强,将函数求导利用到数列求通项中,只要学生能够细心,拿下这道题还是没有问题的;大题第20题函数:题型新颖,考查考生对新问题冷静处理的能力,对区间长度的准确理解;大题第21题:难度较大,计算量大,点比较多,也容易把考生绕进去,要将这题做好,需要一定的计算基本功。
[详细解析]
一.选择题选择题:本大题共10小题。每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设是虚数单位,若复数是纯虚数,则的值为()
(A)-3(B)-1(C)1(D)3
【答案】D
【解析】,所以a=3,
故选择D
【考点定位】考查纯虚数的概念,及复数的运算,属于简单题.
(2)已知,则()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】A
【解析】A:,,,所以答案选A
【考点定位】考查集合的交集和补集,属于简单题.
(3)如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为
(A)(B)
(C)(D)
【答案】C
【解析】;
;
,输出
所以答案选择C
【考点定位】本题考查算法框图的识别,逻辑思维,属于中等难题.
(4)“”是“”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,所以答案选择B
【考点定位】考查充分条件和必要条件,属于简单题.
录用的概率为
(A)(B)
(C)(D)
【答案】D
【解析】总的可能性有10种,甲被录用乙没被录用的可能性3种,乙被录用甲没被录用的可能性3种,甲乙都被录用的可能性3种,所以最后的概率
【考点定位】考查古典概型的概念,以及对一些常见问题的分析,简单题.
(6)直线被圆截得的弦长为
(A)1 (B)2
(C)4 (D)
【答案】C
【解析】圆心,圆心到直线的距离,半径,所以最后弦长为.
【考点定位】考查解析几何初步知识,直线与圆的位置关系,点到直线的距离,简单题.
(7)设为等差数列的前项和,,则=
(A)(B)
(C)(D)2
【答案】A
【解析】
【考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用,以及数列基本量的求解.
(8) 函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数,使得,则的取值范围为
(C)(D)
【答案】B
【解析】
表示到原点的斜率;
表示与原点连线的斜率,而在曲线图像上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个,很明显有3个,故选B.
【考点定位】考查数学中的转化思想,对函数的图像认识.
(9) 设的内角所对边的长分别为,若,则角=
(C)(D)
【答案】B
【解析】由正弦定理,所以;
因为,所以,
,所以,答案选择B
【考点定位】考查正弦定理和余弦定理,属于中等难度.
(11) 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】,求交集之后得的取值范围
【考点定位】考查函数定义域的求解,对数真数位置大于0,分母不为0,偶次根式底下大于等于0.
(12)若非负数变量满足约束条件,则的最大值为__________.
【答案】4
【解析】
由题意约束条件的图像如下:
当直线经过时,,取得最大值.
【考点定位】考查线性规划求最值的问题,要熟练掌握约束条件的图像画法,以及判断何时取最大.
(13)若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】等式平方得:
则,即
得
【考点定位】考查向量模长,向量数量积的运算,向量最基本的化简.
(14)定义在上的函数满足.若当时。,
则当时,=________________.
【答案】
【解析】当,则,故
又,所以
【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.
(16)(本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;
(Ⅱ)不画图,说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.
【解析】(1)
当时,,此时
所以,的最小值为,此时x的集合.
=
【考点定位】考查空间直线与直线,直线与平面的位置,.三棱锥体积等基础知识和基本技能,考查空间观念,推理论证能力和运算能力.
(19)(本小题满分13分)
设数列满足,,且对任意,函数满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
【解析】
由
所以,
是等差数列.
而
(2)
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式,等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.
设函数,其中,区间.
(Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为;
(Ⅱ)给定常数,当时,求长度的最小值.
【解析】
(1)令
解得
的长度
(2)则
由 (1)
,则
故关于在上单调递增,在上单调递减.
【考点定位】考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用,并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.
(21)(本小题满分13分)
已知椭圆的焦距为4,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为。取点,连接,过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
【解析】
(1)因为椭圆过点
且
椭圆C的方程是
(2)
由题意,各点的坐标如上图所示,
则的直线方程:
化简得
又,
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点.
【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线和椭圆的位置关系,并考查数形结合思想,逻辑推理能力及运算能力.