2013年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
   第一部分(共50分)
   一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
   1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为
   1. [－1,1](B) (－1,1)
      (C)(D)
      【答案】D
      【解析】,所以选D
      

      输入x

      Ifx≤50 Then

      y=0.5 * x

      Else

      y=25+0.6*(x-50)

      End If

      输出y

      2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,
      输出y的值为
      (A) 25
      (B) 30
      (C) 31
      (D) 61
      【答案】C
      【解析】,所以选C
      3. 设a,b为向量, 则“”是“a//b”的
      1. 充分不必要条件(B) 必要不充分条件
         (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件
         【答案】C
         【解析】
         若,为真；
         相反，若，则。
         所以“”是“a//b”的充分必要条件。
         另：当为零向量时，上述结论也成立。所以选C
         4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
         1. 11(B) 12(C) 13(D) 14

【答案】B

【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。故选B

5. 如图, 在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是

(A)(B)

(C)(D)

【答案】A

【解析】该地点信号的概率=

所以该地点无信号的概率是。选A

6. 设z₁,z₂是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若, 则(B) 若, 则

(C) 若, 则(D) 若, 则

【答案】D

【解析】

对（A），若,则，所以为真。

对（B），若,则互为共轭复数，所以为真。

对（C），设若,则，，所以为真

选D

7. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若, 则△ABC的形状为

1. 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定

【答案】B

【解析】因为，所以

又。联立两式得。

所以。选B

8. 设函数 , 则当x>0时,表达式的展开式中常数项为

1. －20(B) 20(C) －15(D) 15

【答案】A

【解析】当的展开式中，常数项为。所以选A

9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是

(A) [15,20](B) [12,25]

(C) [10,30](D) [20,30]

【答案】C

【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得:利用线性规划知识解得，选C

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x,y, 有

(A) [－x] ＝ －[x](B) [2x] ＝ 2[x]

(C) [x＋y]≤[x]＋[y](D) [x－y]≤[x]－[y]

【答案】D

【解析】代值法。

对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。

对B, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以B选项为假。

对C, 设x = y = 1.8, 对A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以C选项为假。

故D选项为真。所以选D

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 双曲线的离心率为, 则m等于9.

【答案】9

【解析】

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

【答案】

【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积

13. 若点(x,y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为-4.

【答案】- 4

【解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2x－y在点（-1,2）取最小值- 4

14. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为.

【答案】

【解析】分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。

当n为偶数时，分组求和：。

当n为奇数时，第n个等式=。

综上，第n个等式：

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 已知a,b,m,n均为正数, 且a＋b＝1,mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为2.

【答案】2

【解析】利用柯西不等式求解，,且仅当

时取最小值 2

B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝.

【答案】

【解析】

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为.

【答案】

【解析】

。

所以圆的参数方程为

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. (本小题满分12分)

已知向量, 设函数.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x)在上的最大值和最小值.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)

=。

最小正周期。

所以最小正周期为。

(Ⅱ).

.

所以，f (x)在上的最大值和最小值分别为.

17. (本小题满分12分)

设是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 导的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见下；

【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

①

②.

上面两式错位相减:

。

③综上，

(Ⅱ)使用反证法。

设是公比q≠1的等比数列,假设数列是等比数列.则

①当=0成立，则不是等比数列。

②当成立，则

。这与题目条件q≠1矛盾。

③综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q≠1时, 数列不是等比数列。（证毕）

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A₁O⊥平面ABCD,.

(Ⅰ) 证明: A₁C⊥平面BB₁D₁D;

(Ⅱ) 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角的大小.

【答案】(Ⅰ)见下;(Ⅱ)=

(Ⅱ) 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角的大小.

【解析】

(Ⅰ)；又因为，在正方形AB CD中，。

在正方形AB CD中,AO = 1 .

.

.(证毕)

(Ⅱ)建立直角坐标系统,使用向量解题。

以O为原点，以OC为X轴正方向，以OB为Y轴正方向。则

.

由(Ⅰ)知, 平面BB₁D₁D的一个法向量

设平面OCB₁的法向量为

。

所以，平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角为

19. (本小题满分12分)

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

【答案】(Ⅰ);

(Ⅱ)X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P

数学期望

【解析】(Ⅰ)设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。

观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。

所以P(A) = .

因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。

当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .

当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .

当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .

X的分布列如下表：

X	0	1	2	3
P

所以，数学期望

20. (本小题满分13分)

已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)定点（1,0）

【解析】(Ⅰ)A(4,0),设圆心C

(Ⅱ)点B(－1,0),.

直线PQ方程为：

所以，直线PQ过定点（1,0）

21. (本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;

(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x)与曲线公共点的个数.

(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.

【答案】(Ⅰ);

(Ⅱ)当m时,有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m有2个公共点；

(Ⅲ)>

【解析】(Ⅰ)f (x)的反函数. 设直线y＝kx＋1与相切与点。所以

(Ⅱ) 当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x)与曲线的公共点个数即方程根的个数。

由，

则 h(x)在

h(x).

所以对曲线y＝f (x)与曲线公共点的个数，讨论如下：

当m时,有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m有2个公共点；

(Ⅲ)设

令。

，且

。

所以