2014年全国高考文科数学试题及答案-福建卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文史类）

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1. 若集合，，则等于（ ）
   A．B．C．D．
2. 复数等于（ ）
   A．B．C．D．
3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
   A．B． C．2 D．1
4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（ ）
   A．1 B．2 C．3 D．4
5. 命题“”的否定是（ ）
   A．B．
   C．D．
6. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）
   A．B．C．D．
7. 将函数的图像左移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
   A．是奇函数 B．的周期是
   C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称
8. 若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
   
   A B C D
9. 要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
   A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
10. 设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内的任意一点，则等于（ ）
    A．B．2C．3D．4
11. 已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（ ）
    A．5 B．29 C．37 D．49
12. 平面直角坐标系中，两点，间的“距离”定义为，则平面内与轴上两个不同的定点的“距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）

A B C D

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：

用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

1. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。

1. 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计，阴影部分的面积是____。
2. 在中，，则等于___________。
3. 函数的零点个数是___________。
4. 已知集合，且下列三个关系式：有且只有一个正确，则等于等于_____________。

1. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

1. （本小题满分12分）已知等比数列中，。
   （I）求数列的通项公式；
   （II）若数列，求数列的前项和。
2. （本小题满分12分）已知函数。
   （I）求的值；
   （II）求函数的最小正周期及单调递增区间。
3. （本小题满分12分）如图，三棱锥中中，平面，。
   （I）求证：平面；
   （II）若，为中点，求三棱锥的体积。
   
4. （本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均低于1035美元为低收入国家；人均为1035~4085美元为中等偏下收入国家；人均低于4085~12616美元为中等偏上收入国家；人均不低于12616美元为高收入国家。某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均如下表

   行政区	区人口占城市人口比例	区人均GDP（单位：美元）
   A	25%	8000
   B	30%	4000
   C	15%	6000
   D	10%	3000
   E	20%	10000

   
   （I）试判断该城市人均是否达到中等偏上收入国家标准；
   （II）现从该城市的5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均都达到中等偏上收入国家的标准的概率。
5. （本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2
   （I）求曲线的方程；
   （II）曲线在点处的切线与轴交于点，直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论。
6. （本小题满分14分）已知函数为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为。
   1. 求的值及函数的极值；
   2. 证明：当时，；
   3. 证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

1.A2.B3.A4.B5.C6.D

7.D8.B9.C10.D11.C12.A

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13. 0.1814. 115. 216. 201

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分12分。

解：（Ⅰ）设的公比为，依题意得

解得

因此

（Ⅱ）因为，

所以数列的前项和

18.本小题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分12分。

解法一：（Ⅰ）

（Ⅱ）因为

所以

由

得

所以的单调递增区间为

解法二：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

由

得

所以的单调递增区间为

19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想。满分12分。

解法一：（Ⅰ）因为平面平面，

所以

又因为

平面平面

所以平面

（Ⅱ）由平面，得

是的中点，

由（Ⅰ）知，平面，

三棱锥的高

因此三棱锥的体积

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由平面知，平面平面

又平面平面

如图，过点做交于点，

则平面，且，

又

三棱锥的体积

20.本小题主要考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想。满分12分。

解：（Ⅰ）设该城市人口总数为，则该城市人均GDP为

因为

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准。

（Ⅱ）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，

{D，E}，共10个。

设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，

则事件M包含的基本事件是：{A，C}， {A，E}，{C，E}，共3个，

所以所求概率为

21.本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想。满分12分。

解法一：（Ⅰ）设为曲线上任意一点，

依题意，点S到F（0，1）的距离与它到直线的距离相等，

所以曲线是以点F（0，1）为焦点、直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为

（Ⅱ）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：

由（Ⅰ）知抛物线的方程为，

设，则，

由，得切线的斜率

，

所以切线的方程为，

即

由，得

由，得

又，所以圆心，

半径，

所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变。

解法二：（Ⅰ）设为曲线上任意一点，

则，

依题意，点只能在直线的上方，所以，

所以，

化简得，曲线的方程为

（Ⅱ）同解法一

22.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全程量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想。满分14分。

解法一：（Ⅰ）由，得

又，得

所以，

令，得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以当时，有极小值，

且极小值为，

无极大值。

（Ⅱ）令，则

由（Ⅰ）得，，即

所以在R上单调递增，又，

所以当时，，即

（Ⅲ）对任意给定的正数，取，

由（Ⅱ）知，当时，

所以当时，，即

因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）令，要使不等式成立，只要成立

而要使成立，则只需要，即成立。

①若，则，易知当时，成立，

即对任意，取，当时，恒有

②若，令，则，

所以当时，在内单调递增，

取，

，

易知，所以

因此对任意，取，当时，恒有

综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有

解法三：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）①若，取，

由（Ⅱ）的证明过程知，，

所以当时，有，即

②若，

令，则

令得

当时，单调递增

取，

，

易知，又在内单调递增，

所以当时，恒有，即

综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有

注：对的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。