2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，则集合（ ）

A．B．C．D．

2.设复数z满足，则（ ）

A．B．C．D．

3.已知，，则（ ）

A．B．C．D．

4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）

A．若则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

5. 设是非零向量，已知命题：若，，则；命题：若，则，则下列命题中真命题是（ ）

A．B．C．D．

6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）

A．B．C．D．

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．

8. 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）

A． B．-1 C．D．

9. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）

A．B．C．D．

10. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）

A．B．

C．D．

11. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

12. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出.

14.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .

15. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.

16. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值.

18. （本小题满分12分）

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

附：，

19. （本小题满分12分）

如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.

（1）求证：平面BCG；

（2）求三棱锥D-BCG的体积.

附：椎体的体积公式，其中S为底面面积，h为高.

20. （本小题满分12分）

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.

（1）求点P的坐标；

（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

证明：

（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（1）求M；

（2）当时，证明：.

一、选择题

1.D2.A3.D4.B5.A6.B

7.C8.C9.D10.A11.B12.C

二、填空题

13. 2014. 1815. 1216. -1

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）由得，又，所以

由余弦定理，得

又，所以

解，得或

因为，所以

（Ⅱ）在中，

由正弦定理，得

因为，所以为锐角，因此

于是

18.解：

（Ⅰ）将列联表中的数据代入公式计算，得

由于4.762 >3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

（Ⅱ）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间

其中表示喜欢甜品的学生，，表示不喜欢甜品的学生，。

由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的。

用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这以事件，则

事件是由7个基本事件组成，因而

19.（Ⅰ）证明：

由已知得，因此，

又为的中点，所以；

同理；因此平面

又，所以面

（Ⅱ）在平面ABC内，作，交延长线于

由平面平面，知面

又为的中点，因此到平面距离是长度的一半

在中，，所以

20.解：

（Ⅰ）设切点坐标为，

则切线的斜率为，切线方程为，即

此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为

由知，当且仅当时，由最大值，即有最小值，

因此点的坐标为

（Ⅱ）设的标准方程为，点，

由点P在C上知，并由

得，又是方程的根，因此

由，得

由点P到直线的距离为及

得，

解得或3，因此，（舍去）或，，

从而所求C的方程为

21.证明：

（Ⅰ）当时，，所以在上为增函数，

又，

所以存在唯一，使

（Ⅱ）当时，化简得

令，记，

则

由（Ⅰ）得，当时，，当时，

在上为增函数，

由知，当时，，所以在上无零点

在上为减函数，由及知，存在唯一，使

于是存在唯一，使

设，则，因此存在唯一的，使

由于，所以

22.证明：

（Ⅰ）因为，所以

由于PD为切线，故，

又由于，故

所以，从而

由于，所以，于是，故是直径。

（Ⅱ）连接BC,DC

由于AB是直径，故

在与中，AB=BA，AC=BD，从而，于是

又因为，所以，故

由于，所以，为直角

于是为直径，由（Ⅰ）得

23.解：

（Ⅰ）设为圆上的点，经变换为C上点，依题意，得

由得，即曲线C的方程为

故C的参数方程为（为参数）

（Ⅱ）由解得：，或

不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，

化为极坐标方程，并整理得

，即

24.解：

（Ⅰ），

当时，由得，故；

当时，由得，故

所以的解集为

（Ⅱ）由得，解得

因此，故

当时，，于是