2014年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2014年普通高等学校招生统一考试上海市

数学试题（理科）及参考答案

满分150分;考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、函数的最小正周期是 ．

2、若复数， 其中是虚数单位, 则．

3、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为 ．

4、设若, 则的取值范围为 ．

5、若实数，满足, 则的最小值为 ．

6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．

7、已知曲线的极坐标方程为, 则与极轴的交点到极点的距离是 ．

8、设无穷等比数列的公比为，若, 则.

9、若, 则满足的x的取值范围是 ．

10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．

11、已知互异的复数，满足, 集合, 则．

12、设常数使方程在闭区间上恰有三个解, 则.

13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量表示小白玩该游戏的得分．若, 则小白得5分的概率至少为 ．

14、已知曲线, 直线．若对于点, 存在上的点和上的使得, 则的取值范围为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、设, 则“”是“且”的

1. 充分条件 (B) 必要条件
   (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
   16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, 是一条侧棱,是上底面上其余的八个点, 则的不同值的个数为
   1. 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

1. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点, 则关于和的方程组的解的情况是
   1. 无论,如何, 总是无解 (B) 无论,如何, 总有唯一解
      (C) 存在,, 使之恰有两解 (D) 存在,, 使之有无穷多解
      18、设若是的最小值, 则的取值范围为
      1. (B)(C)(D)
         三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
         19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥, 其表面展开图是三角形, 如图．求的各边长及此三棱锥的体积V ．
         20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
         设常数, 函数．
         （1）若, 求函数的反函数;
         （2）根据的不同取值, 讨论函数的奇偶性, 并说明理由。
         21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
         如图, 某公司要在,两地连线上的定点处建造广告牌, 其中为顶端,长35米,长80米. 设点,在同一水平面上, 从和看的仰角分别为和．
         （1）设计中是铅垂方向．若要求, 问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
         （2）施工完成后,与铅垂方向有偏差．现在实测得,, 求的长（结果精确到0.01米）．
         22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
         在平面直角坐标系中, 对于直线和点,, 记．若, 则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点, 且曲线上存在点被直线分隔, 则称直线为曲线的一条分隔线．
         (1)求证: 点,被直线分隔;
2. 若直线与曲线的分隔线, 求实数的取值范围;
3. 动点到点的距离与到轴的距离之积为1, 设点的轨迹为曲线。

求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是的分隔线.

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知数列满足,,．

1. 若,,, 求的取值范围;
2. 设是公比为q的等比数列,．若,,
   求的取值范围;
3. 若成等差数列, 且, 求正整数的最大值, 以及取最大值时相应数列的公差．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、； 2、6； 3、； 4、； 5、；

6、； 7、； 8、； 9、（0,1）； 10、；

11、-1； 12、； 13、0.2； 14、.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、B; 16、A; 17、B; 18、D;

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19、(本题满分12分)

在中，，，所以是中位线，故．

同理，，．所以是等边三角形，各边长均为．

设是的中心，则平面，

所以，．

从而，．

20.解：

（1）因为，所以，

得或，且．

因此，所求反函数为，．

（2）当时，，定义域为，故函数是偶函数；

当时，，定义域为，

，故函数为奇函数；

当且时，定义域为关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．

21、[解]：（1）记．根据已知得，

，，所以，

解得．因此，的长至多约为28.28米．

（2）在中，由已知，，，

由正弦定理得，解得．

在中，由余弦定理得，解得．

所以，的长约为26.93米．

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

（1）证明：由题得，，∴被直线分隔。

（2）解：直线与曲线有公共点的充要条件时方程组有解，

即。

因为直线是曲线的分割线，故它们没有公共点，即

当时，对于直线，曲线上的点（-1，0）和（1，0）满足，即点（-1，0）和（1，0）被分隔。

故实数的取值范围是

（3）证明：由题得，设，∴，

化简得，点的轨迹方程为。

①当过原点的直线斜率存在时，设方程为。

联立方程，。

令，，显然是开口朝上的二次函数

∴由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去

②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。

显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。

∴，符合题意

综上所述，仅存在一条直线是的分割线。

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

解：（1）由题得，

（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，

∴，∴，∴。

又∵，∴当时，对恒成立，满足题意。

当时，

∴①当时，，由单调性可得，，解得，

②当时，，由单调性可得，，解得，

（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，

∴，∴，∴

又∵，∴

∴，∴，解得，，

∴的最大值为1999，此时公差为。