2014年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
   （1）设全集，集合，则（ ）
   1. B.C.D.

1. 已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）
   1. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
      C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
      （3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
      1. 90B. 129

C. 132D. 138

1. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）

A.向右平移个单位 B.向左平移个单位

C.向右平移个单位 D.向左平移个单位

1. 在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）

A.45 B.60 C.120 D. 210

1. 已知函数（ ）
   1. B.C.D.

1. 在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）

1. 记，，设为平面向量，则（ ）

A.

B.

C.

D.

9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.

（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；

（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.

则

1. B.

C.D.

1. 设函数，，，记，则
   1. B.C.D.

1. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

1. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.

1. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.
2. 当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.

1. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
2. 设函数若，则实数的取值范围是______
3. 设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________

17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值

二、解答题：本大题共5小题，共72分

18.（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知，，

（1）求角的大小

（2）若，求的面积

19.（本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且

1. 求与；
2. 设。记数列的前项和为.

（i）求；

（ii）求正整数，使得对任意，均有.

1. （本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，。

1. 证明：平面;
2. 求二面角的大小

21.(本题满分15分)

如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.

1. 已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
2. 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.

1. （本题满分14分）已知函数

1. 若在上的最大值和最小值分别记为，求；
2. 设若对恒成立，求的取值范围.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1.B2.A3.D4.C5.C

6.C7.D8.D9.A10.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11. 612.13.14. 60

15.16.17.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（Ⅰ）解：由题意得

即

由，得，又，得

即

所以

（Ⅱ）解：由，得

由，得，从而，故

所以，的面积为

19.本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识、同时考查运算求解能力。满分14分。

（Ⅰ）解：由题意

知

又由，得公比（，舍去），所以数列的通项为

所以

故数列的通项为

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知

所以

（ⅱ）因为；

当时，

而

得

所以，当时，

综上，对任意恒有，故

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）证明：在直角梯形中，由，得

由，得，即

又平面平面，从而平面

所以，又，从而

平面

（Ⅱ）方法一：

作，与交于点，过点作，与交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知，则，所以是二面角的平面角。

在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而

由于平面，得

在中，由，得

在中，由，得

在中，由，得，从而

在中，利用余弦定理分别可得

在中，

所以，，即二面角的大小是

方法二：

以D为原点，分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示。

由题意知各点坐标如下：

设平面ADE的法向量为，平面ABD的法向量为，可算得

由得可取

由得可取

于是

由题意可知，所求二面角时锐角，故二面角的大小是

21.本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。满分15分。

（Ⅰ）解：设直线的方程为，由，消去得

由于与只有一个公共点，故，即，解得点P的坐标为

又点P在第一象限，故点P的坐标为

（Ⅱ）解：由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离

整理得

因为，所以

当且仅当时等号成立。

所以，点到直线的距离的最大值为。

22.本题主要考查函数最大（最小）值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分14分。

（Ⅰ）解：因为，所以

由于

（ⅰ）当时，有，故

此时在上是增函数，因此，，

故

（ⅱ）当时，

若，在上是增函数；

若，在上是减函数；

所以，

由于，因此

当时

；

当时

；

（ⅲ）当时，有，故

，

此时在上是减函数，因此

故

综上

（Ⅱ）解：令，则

因为对恒成立，即对恒成立，所以由（Ⅰ）知，

（ⅰ）当时，在上是增函数，

在上的最大值是，

最小值是，

则且，矛盾；

（ⅱ）当时，

在上的最小值是，

最大值是，

所以，且，

从而

且

令，则在上是增函数，

故

，

因此

；

（ⅲ）当时，

在上的最小值是，最大值是，

所以

且，

解得

；

（ⅳ）当时，

在上的最大值是，最小值是，

所以

且，

解得

综上，得的取值范围是