2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 为虚数单位，则（ ）
   1. B.C.D.
2. 若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）
   A.2 B. C. 1 D.
3. 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）
   1. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
      C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 根据如下样本数据

   x	3	4	5	6	7	8
   y	4.0	2.5		0.5

   得到的回归方程为，则（ ）
   1. B.C.D.
5. 在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
   
   A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②
6. 若函数上的一组正交函数，给出三组函数：
   ①；②；③
   其中为区间的正交函数的组数是（ ）
   A.0 B.1 C.2 D.3
7. 由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）
   1. B.C.D.

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）

1. B.C.D.

9. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

1. B. C.3 D.2

10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为

A．[] B．[] C．[] D．[]

1. 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

1. 必考题（11—14题）

11. 设向量，，若，则实数________.

12. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.

13. 设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.

1. 设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.

1. 当时，为的几何平均数；
2. 当当时，为的调和平均数；

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

1. 选考题

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________

17.（本小题满分11分）

某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？

18.（本小题满分12分）

已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式.

（Ⅱ）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

19.(本小题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.

（Ⅰ）当时，证明：直线平面;

（Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

1. （本小题满分12分）

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。

（Ⅰ）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

年入流量
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

1. （满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求轨迹为C的方程

（Ⅱ）设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。

一、选择题

1.A2.C3.C4.B5.D6.C7.D8.B9.A10.B

二、填空题

11. ±312. 213. 495

14. （Ⅰ）；（Ⅱ）（或填（Ⅰ）；（Ⅱ），其中为正常数均可）

15. 416. （，1）

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）因为，

又，所以

当时，；

当时，

于是在上取得最大值12，取得最小值8

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。

（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温

由（Ⅰ）得，故有，

即

又，因此，即

在10时至18时实验室需要降温

18.解：

（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，

化简得，解得或

当时，；

当时，，

从而得数列的通项公式为或

（Ⅱ）当时，，显然，

此时不存在正整数，使得成立

当时，

令，即，

解得或（舍去），

此时存在正整数，使得成立，的最小值为41

综上，当时，不存在满足题意的；

当时，存在满足题意的，其最小值为41.

19.几何方法：

（Ⅰ）证明：如图1，连接，由是正方体，知

当时，是的中点，又是的中点，所以，所以

而平面，且平面，故直线平面。

（Ⅱ）如图2，连接BD,因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF//BD，且，

又，所以四边形是平行四边形，故，且，

从而，且

在和中，因为，于是,所以四边形是等腰梯形。

同理可证四边形是等腰梯形。

分别取的中点为，连接，

则，而，

故是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角

若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则

连接EM，FN，则由EF//MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形

连接GH，因为H，G是EF,MN的中点，所以

在中，

，

由，得，解得，

故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。

向量方法：

以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系，由已知得

，，，，，，，

（Ⅰ）证明：当时，，

因为，所以，即

而平面，且平面，故直线平面

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则

由可得于是可取

同理可得平面的一个法向量为

若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，

则，即，

解得

故存在，使面与面所成的二面角为直二面角。

20.解：

（Ⅰ）依题意，，，

由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

（Ⅱ）记水电站年总利润为（单位：万元）

（1）安装1台发电机的情形

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润

（2）安装2台发电机的情形

依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；

当时，两台发电机运行，此时，因此；

由此得的分布列如下：

	4200	10000
	0.2	0.8

所以，

（3）安装3台发电机的情形

依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；

当时，两台发电机运行，此时，因此；

当时，三台发电机运行，此时，因此，由此得的分布列如下：

	3400	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以，

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。

21.解：

（Ⅰ）设点，依题意得，即，

化简整理得

故点的轨迹的方程为

（Ⅱ）在点的轨迹中，记

依题意，可设直线的方程为

由方程组可得①

（1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得

故此时直线与轨迹恰好有一个公共点

（2）当时，方程①的判别式为②

设直线与轴的交点为，则

由，令，得③

（ⅰ）若由②③解得，或

即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。

（ⅱ）若或由②③解得，或

即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点，

当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，

故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点。

（ⅲ）若由②③解得，或

即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰好有三个公共点。

综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点。

22.解：

（Ⅰ）函数的定义域为，因为，所以

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减。

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）因为，所以，即

于是根据函数在定义域上单调递增，可得

故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中。

由及（Ⅰ）的结论，得，即

由，得，所以；

由，得，所以

综上，6个数中最大数是，最小数是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，又由（Ⅱ）知，，得，

故只需比较与和与的大小

由（Ⅰ）知，当时，，即

在上式中，令，又，则，从而，

即得①

由①得，，

即，亦即，所以

又由①得，，即，所以

综上可得，，

即6个数从小到大的顺序为