2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、满足（i的虚数单位）的复数z=

A、B、C、D、

2、对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为、、，则

A、

B、

C、

D、

3、已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=，则

A、B、 C、1 D、3

4、的展开式中的系数是

A、-20 B、-5 C、5 D、20

5、已知命题p：若x>y，则-x<-y ：命题q：若x>y，在命题

①②③④

中，真命题是

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的S属于

A、[-6,-2] B、[-5,-1]

C、[-4，5] D、[-3,6]

7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A、1 B、2 C、3 D、4

8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为

A、B、

C、D、

9、已知函数发，且，则函数的图象的一条对称轴是

A、B、x=C、x=D、x=

10、已知函数与的图象在存在关于y轴对称点，则a的取值范围是

A、B、C、D、

二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分

（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（a为参数）交于A，B两点，且.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_________。

12. 如图3，已知，是的两条弦，,,，则的半径等于________。

13．若关于x的不等式的解集为，则

a=________.

(二)必做题(14-16题)

14. 若变量满足约束条件且的最小值为-6，则_______。

15. 如图4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a经过C、F两点，则_________。

16．在平面直角坐标系中，O为原点C(3 0)动点D满足 ，则的最大值是__________。

三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17 .(本小题满分l2分)

某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立。

(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(Ⅱ)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望

18．（本小题满分l2分）

如图5，在平面四边形中，

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）若，求BC的长

19. （本小题满分l2分）

如图6，四棱柱的所有棱长都相等，，四边形和四边形均为矩形。

（Ⅰ）证明：底面ABCD；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值。

20. （本小题满分13分）

已知数列满足

（Ⅰ）若是递增数列，且成等差数列，求p的值；

（Ⅱ）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式。

21、如图7，为坐标原点，椭圆:（a>b>0）的左、右焦点分别为，，离心率为：双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为。已知=，且。

（Ⅰ）求、的的方程；

（Ⅱ）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值

22、已知常数a>0，函数。

（Ⅰ）讨论f（x）在区间上的单调性；

（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点、，且f（）+f（）>0，求a的取值范围

1-5 BDCAC 6-10 DBDAB

11.12.13.-314.-215.

16.

17. 解：

（1）设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为，则，再根据对立事件概率之间的公式可得，所以至少一种产品研发成功的概率为

（2）由题可得，设该企业可获得利润为，则的取值有0，120+0，100+0，120+100，即=0，120，100，220

由独立试验的概率计算公式可得：

所以的分布列如下：

	0	100	120	220

则数学期望.

18.解：

（1）在中，由余弦定理可得

（2）设，则

因为，

所以

于是

在中，由正弦定理，得

故

19.

（1）证明：因为四边形为矩形，所以

又因为点是的中点，点是的中点，所以，所以

同理，在矩形中，可得

和是平面的两条相交的直线，故可得，底面

（2）方法一：

如图（a），过做于，连接

由（1）知，底面，所以底面，于是

又因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，

因此，从而平面，所以，，于是平面

进而，故是二面角的平面角。

不妨设，因为，所以

在中，易知，

而，于是得

故

即二面角的余弦值为

方法二：

因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，又底面，从而两两垂直。

如图（b），以为坐标原点，坐在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。

设，因为，所以，

于是相关各点的坐标为，

易知是平面的一个法向量

设是平面的一个法向量，则

取，则，所以，

设二面角的大小为，易知是锐角，于是

故二面角的余弦值为

20.解：

（1）因为数列是递增数列，所以

而，令，得到

又因为是等差数列，所以

因而

解得或

当时，，这与是递增数列矛盾，故舍去，

所以

（2）由于是递增数列，因而，

于是①

因为，所以②

由①②知，

因此③

因为是递减数列，同理可得，

故④

由③④可知，

于是

故数列的通项公式是

21.解：

（1）因为，所以，即

因此

从而，于是

所以

故的方程分别为

（2）因为不垂直于轴，且过点，故可设直线的方程为，

由得

易知此方程的判别式大于0，设，则是上述方程的两个实根

所以

因此，

于是的中点为，

故直线的斜率为，的方程为，即

由得

所以，且

从而

设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，

所以

因为点在直线的异侧，所以

于是，

从而

又因为

所以

故四边形的面积

而

故当时，取最小值2

综上所述，四边形面积的最小值为2

22.解：

（1）对函数求导，可得

（*）

因为，所以

当时，，此时，在区间上单调递增；

当时，由得

（舍去）

当时，；

当时，

故在区间上单调递减，在上单调递增。

综上所述，

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在上单调递增。

（2）由（1）可知，当时，，

此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，

又的极值点只可能是，

且由的定义可知，且，

所以，

解得，此时，由（*）式易知，分别是的极小值点和极大值点。

而

令，由且知

当时，；

当时，；

记

（ⅰ）当时，，

所以

因此，在区间上单调递减

从而

故当时，

（ⅱ）时，

所以

因此，在区间上单调递减，

从而，

故当时，

综上所述，满足条件的的取值范围为