2014年全国高考理科数学试题及答案-广东卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合则
   A．　B.　C.　D.
2. 已知复数Z满足则Z=a
   A．　　B.　　　C.　　D.
   3. 若变量满足约束条件的最大值和学科网最小值分别为M和m，则M-m=
   A．8 　　B.7 　　　　C.6 　　　　　 D.5
   4. 若实数k满足则曲线与曲线的
   A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 　D.焦距相等
   5. 已知向量则下列向量中与成夹角的是
   A．（-1,1,0）　B. （1,-1,0）　C. （0,-1,1）　D. （-1,0,1）
   6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
   
   A、200,20　　　　B、100,20　　C、200,10　　D、100,10
   7、若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是
   A．B．C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
   8.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为
   A．60 B90 C.120 D.130
   二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
   （一）必做题（9～13题）
   9．不等式的解集为 。
   10．曲线在点处的切线方程为 。
   11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
   12．在中，角所对应的边分别为，已知，则。
   13．若等比数列的各项均为正数，且，
   则。
   （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
   14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C₁和C₂的方程分别为和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C₁和C₂的交点的直角坐标为＿＿
   15、（几何证明选讲选做题）如图3，学科网在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝＿＿＿
   
   三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
   16、（12分）已知函数，且，
   （1）求的值；
   （2）若，，求。
   17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36
   根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
   
   （1）确定样本频率分布表中和的值；
   （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
   （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1学科网人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。
   18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。
   （1）证明：CF⊥平面ADF；
   （2）求二面角D－AF－E的余弦值。
   
   19. （14分）设数列的前和为,满足，且。
   1. 求的值;
   2. 求数列的通项公式;
      20. （14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
      （1）求椭圆C的标准方程；
      （2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C学科网的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
      21.（本题14分）设函数，其中，
      （1）求函数的定义域D；（用区间表示）
      （2）讨论在区间D上的单调性；
      （3）若，求D上满足条件的的集合。
      

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      参考答案
      一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
      1. B2. A3. C4. D5. B6.A7. D8. D

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9.10.11.12. 213.50

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14.（1，1）15. 9

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（12分）已知函数，且，

（1）求的值；

（2）若，，求.

解：

（Ⅰ），

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

所以

17.解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）频率分布直方图如下所示：

（Ⅲ）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间（30，35]的概率为0.2，设日加工零件数落在区间（30，35]的人数为随机变量，则（4，0.2），故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为：

18.

（Ⅰ）证明：平面，平面

平面平面，交线为

又四边形为正方形，平面

平面，又由于平面

，且

平面

（Ⅱ）设，则

以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，设平面的法向量为

则

同理求得平面的法向量

二面角的余弦值为

19.解：

（Ⅰ）由得：

解得

（Ⅱ）猜想：，则，以下用数学归纳法证明：

当时，由（Ⅰ）知，符合；

假设当时，，由

，符合

所以，由数学归纳法可知，数列的通向公式为：

20.解：

（Ⅰ）由得：

所以，椭圆方程为

（Ⅱ）设两切线为，

① 当轴或轴时，对应轴或轴，可知；

② 当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，

的方程为，联立，

得，

因为直线与椭圆相切，所以，得，

，

所以是方程的一个根，

同理是方程的另一个根，

，得，其中，

所以点P的轨迹方程为（），

因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．

21. 解：

（Ⅰ）可知，

，

或，

或，

或，

或或，

所以函数的定义域D为

；

（Ⅱ）

，

由得，即，

或，

结合定义域知或，

所以函数的单调递增区间为，，

同理递减区间为，；

（Ⅲ）由得，

，

，

，

或或或，

，，，

，，

结合函数的单调性知的解集为