2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

2014年普通高等学校招生全国统一考试

全国课标1理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=
   .[-2,-1].[-1,2）.[-1,1].[1,2）
2. =
   ....
3. 设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
   .是偶函数.||是奇函数
   .||是奇函数.||是奇函数
4. 已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
   ..3..
5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
   ....
6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为
   
7. 执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=
   ....
8. 设，，且，则
   ..
   ..
9. 不等式组的解集记为.有下面四个命题：
   ：，：,
   ：，：.
   其中真命题是
   .，.，.，.，
10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=
    ...3.2
11. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为
    .（2，+∞）.（-∞，-2）.（1，+∞）.（-∞，-1）
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
    ...6.4
    第Ⅱ卷
    本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
    二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13. 的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)
14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .
15. 已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .
16. 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .
    三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
    （Ⅰ）证明：；
    （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
    
    （Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
    （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
    （i）利用该正态分布，求；
    （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.
    附：≈12.2.
    若～，则=0.6826，=0.9544.
19. （本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.

（Ⅰ） 证明：；

（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.

（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若，且.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.

一、选择题 

1—5 ADCAD  6—10 CDCBB  11. C  12. B 

二、填空题

13. -20 14. A   15. 16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分) 

解： 

（Ⅰ）由题设，

两式相减得，

由于，………………………………………6分

（Ⅱ），而，解得 ，

由（Ⅰ）知

令，解得。

故，由此可得

是首项为1，公差为4的等差数列，；

是首项为3，公差为4的等差数列，。

所以，

因此存在，使得为等差数列。…………………………………12分

18.（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为

………………………………………………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而

……………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的赶驴为0.6826，依题意知（100，0.6826），所以……………………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连接，交于点，连结，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点。

又，所以，由于，故，

又，故……………………………………6分

（Ⅱ）因为，且为的中点，所以，

又因为，所以，故，从而两两互相垂直，

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

因为，所以为等边三角形，又，则

设是平面的法向量，则

即

所以可取

设是平面的法向量，则

同理可取，

则

所以二面角的余弦值为……………………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设，由条件知，，得，

又，所以

故的方程为………………………………………………5分

（Ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得

当，即时，

从而

又点到直线的距离，所以的面积

……………………9分

设，则，

因为，当且仅当，即时等号成立，且满足

所以当的面积最大时，的方程为

或……………………………12分

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

由题意可得

故………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而等价于

设函数，则，

所以当时，；当时，

故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为

……………………………8分

设函数，则

所以，当时，；当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为

综上，当时，，即……………………………12分

22.（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，

由已知得，故............5分

（Ⅱ）设BC的中点为N，连结，则由知，故在直线上

又不是的直径，为的中点，故，即

所以，故

又，故，由（Ⅰ）知，，所以为等边三角形

……………………………………………………………………………………10分

23.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）

直线的普通方程为…………………………………………5分

（Ⅱ）曲线上任意一点到的距离为

则，其中为锐角，且

当时，取得最小值，最小值为………………………10分

24. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立

故，且当时等号成立

所以的最小值为…………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

由于，从而不存在，使得……………………………10分