2015年全国高考文科数学试题及答案-山东卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（文科）

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合，，则

（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）

2、若复数满足，其中为虚数单位，则

（A）（B）（C）（D）

3、设，则的大小关系是

（A）（B）（C）（D）

4、要得到函数的图象，只需将函数的图象

（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位

（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位

5、设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是

（A）若方程有实根，则

（B） 若方程有实根，则

（C） 若方程没有实根，则

（D） 若方程没有实根，则

6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为

（A） ①③ （B） ①④ （C） ②③ （D） ②④

7、在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为

（A）（B）（C）（D）

8、若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为

（A）（B）（C）（D）

9、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（A）（B）（C）（D）

10、设函数若，则

（A）1 （B）（C）（D）

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值是 .

（12）若满足约束条件则 的最大值为 .

（13）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则.

（14）定义运算“”：.当时，的最小值为 .

（15）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点P，若点P的横坐标为则的离心率为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分

1. （本小题满分12分）

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：

（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学，3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率。

17．（本小题满分12分）

中，角所对的边分别为，已知，，，求和的值.

18．（本小题满分12分）

如图，三棱台中，分别为的中点，

（I）求证：平面；

（II）若，求证：平面平面.

19．（本小题满分12分）

已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为。

（I）求数列的通项公式；

（II）设，求数列的前项和.

20．（本小题满分13分）

设函数，已知曲线在点处的切线与直线平行，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然数，使的方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数表示中的较小值），求的最大值.

1. （本小题满分14分）

平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆E于两点，射线交椭圆E于点，

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求面积的最大值。

参考答案

一、选择题

（1）C（2）A（3）C（4）B（5）D

（6）B（7）A（8）C（9）B（10）D

二、填空题

（11）13（12）7（13）（14）（15）2+

三、解答题

（16）解：

（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，

所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为

（Ⅱ）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

，共个.

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：

，共个.

因此被选中且未被选中的概率为.

17.解：

在中，由，得.

因为，

所以，

因为，所以，可知为锐角，

所以，

因此

.

由

可得，

又，所以.

18.

（Ⅰ）证法一：连接，设，连接

在三棱台中，

为的中点，

可得，

所以四边形为平行四边形

则为的中点，

又为的中点，

所以，

又平面平面，

所以平面

证法二：在三棱台中，

由为的中点，

可得，

所以四边形为平行四边形，

可得

在中，为的中点，为的中点，

所以

又，所以平面平面

因为平面，

所以平面

（Ⅱ）

证明：连接.

因为分别为的中点，

所以

由得，

又为的中点，

所以

因此四边形是平行四边形，

所以

又，所以.

又平面，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面

19.解：

（Ⅰ）设数列的公差为，

令得，

所以.

令得，

所以.

解得，

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以，

所以，

两式相减，得

所以

20.解：

（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，

所以，

又，

所以

（Ⅱ）时，方程在内存在唯一的根.

设

当时，.

又

所以存在，使.

因为

所以当时，，

当时，，

所以当时，单调递增.

所以时，方程在内存在唯一的根.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在内存在唯一的根，

且时，，

时，，

所以.

当时，若

若由

可知

故

当时，由

可得时，单调递增；

时，单调递减；

可知且.

综上可得函数的最大值为.

21.解：

（Ⅰ）由题意知

又，解得，

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为.

（ⅰ）设

由题意知.

因为

又，即

所以，即

（ⅱ）设

将代入椭圆E的方程，

可得，

由可得……………………①

则有

所以

因为直线与轴交点的坐标为，

所以的面积

设，

将直线代入椭圆的方程，

可得，

由可得……………………②

由①②可知，

因此

故

当且仅当，即时取得最大值

由（ⅰ）知，的面积为，

所以面积的最大值为