2015年全国高考文科数学试题及答案-广东卷

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绝密★启用前 试卷类型：B

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 若集合，，则（ ）
   A．B．C．D．
   【答案】C
   【解析】
   试题分析：，故选C．
   考点：集合的交集运算．
2. 已知是虚数单位，则复数（ ）
   A．B．C．D．
   【答案】D
   
   考点：复数的乘法运算．
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
   A．B．C．D．
   【答案】A
   【解析】
   试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A．
   考点：函数的奇偶性．
4. 若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）
   A．B．C．D．
   【答案】C
   考点：线性规划．
5. 设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
   A．B．C．D．
   【答案】B
   【解析】
   试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
   考点：余弦定理．
6. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
   A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交
   C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交
   【答案】A
   考点：空间点、线、面的位置关系．
7. 已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

试题分析：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．

考点：古典概型．

8.已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．

考点：椭圆的简单几何性质．

9. 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

试题分析：因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．

考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．

10. 若集合，

，用表示集合中的元素个数，则

（ ）

A．B．C．D．

【答案】D

考点：推理与证明．

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）

（一）必做题（11~13题）

11. 不等式的解集为 ．（用区间表示）

【答案】

【解析】

试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．

考点：一元二次不等式．

12. 已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．

【答案】

考点：均值的性质．

13. 若三个正数，，成等比数列，其中，，则．

【答案】

【解析】

试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．

考点：等比中项．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．

【答案】

【解析】

试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．

考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．

15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．

【答案】

考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16、（本小题满分12分）已知．

求的值；

求的值．

【答案】（1）；（2）．

考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.

17、（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

求直方图中的值；

求月平均用电量的众数和中位数；

在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

试题解析：（1）由得：，所以直方图中的值是

考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.

18、（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．

证明：平面；

证明：；

求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面

（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以

（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，

，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是

考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.

19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．

求的值；

证明：为等比数列；

求数列的通项公式．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.