2015年全国高考文科数学试题及答案-上海卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

文科数学试题

一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）

1.函数的最小正周期为___________.

2.设全集.若集合，，则___________.

3.若复数满足，其中是虚数单位，则___________.

4.设为的反函数，则___________.

5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则___________.

6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则___________.

7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1，则___________.

8.方程的解为___________.

9.若满足，则目标函数的最大值为___________.

10.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___________.（结果用数值表示）

11.在的二项式中，常数项等于___________（结果用数值表示）.

12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为___________.

13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是___________.

14.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为___________.

二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.

15. 设、，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）.

1. 充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.

1. B.
   C.D.
   17. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
   1. B.

C.D.

18. 设时直线与圆在第一象限的交点，则极限( ).

1. B.

C.D.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分)

如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数，其中为常数

1. 根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
2. 若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
   21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
   如图，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设时，乙到达地，时，乙到达地.
   （1）求与的值；
   （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.
   22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
   已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.
   （1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
   （2）设，，，求的值；
   （3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.
   23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.
   已知数列与满足.
   （1）若且,求的通项公式；
   （2）设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项；
   （3）设,,求的取值范围,使得对任意，，且
   

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   参考答案
   一、填空题：
   1. 2. {1,4}3.4.5. 16

6. 47. 28. 29. 310. 120

11. 24012.13.14. 8

二、选择题：

15. A16. B17. D18. A

三、解答题：

19. 解：

因为，所以为异面直线PA与OE所成的角或其补角

由，得

在中，由余弦定理得，

故异面直线与所成的角的大小为

20.解：

（1）的定义域为，关于原点对称

，

当时，，故为奇函数

当时，由，知且，故既不是奇函数也不是偶函数

（2）设，则

，

由，得，，，，

又，所以，

得，从而，即，

故当时，在上单调递增

21.解：

（1）

记乙到时甲所在地为，则千米

在中，，

所以（千米）

（2）

如图建立平面直角坐标系

设经过小时，甲、乙所在位置分别为

当时，，

在上的最大值是，不超过3

22.

（1）证：直线，点到的距离

因为，所以

（2）解：由得

由（1），

由题意，，解得或

（3）解：

设，则：，设

由得

同理

由（1），

，

整理得

由题意知，与无关，则得

所以，

23.

（1）解：由，得，

所以是首项为1，公差为6的等差数列，

故的通项公式为

（2）证：由，得

所以为常数列，，即

因为，所以，即

故的第项是最大项

（3）解：

因为，所以，

当时，

当时，，符合上式

所以

因为，且对任意，故，特别地，，于是

此时对任意

当时，,由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值，由题意，的最大值及最小值分别为及，由及，解得

综上所述，的取值范围是