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2015年全国高考数学试题及答案-江苏卷

浏览：编辑：可乐 2022-03-10 13:42

2015年全国高等学校招生考试数学试题www.ks5u.com

江苏卷

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

已知集合，，则集合中元素的个数为_______.
已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.
根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.
袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
已知向量，若，则的值为______.
不等式的解集为________.
已知，，则的值为_______.
现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为。

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

11.数列满足，且（），则数列前10项的和为。

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为。

13.已知函数， 2015年全国高考数学试题及答案-江苏卷，则方程实根的个数为。

14.设向量，则的值为。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

在中，已知

2015年全国高考数学试题及答案-江苏卷（1）求BC的长；

（2）求的值。

16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，

求证：（1）平面；

（2）

（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中为常数）模型.
（1）求的值；
（2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为.
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.
（本小题满分16分）

2015年全国高考数学试题及答案-江苏卷如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为3.

求椭圆的标准方程；
过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

19.（本小题满分16分）

已知函数。

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求的值。

20.（本小题满分16分）

设是各项为正数且公差为的等差数列

（1）证明：依次构成等比数列；

（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。

附加题

（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在中，，的外接圆O的弦交于点D
求证：
[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。
[选修4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）
已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
D．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）
解不等式
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,
（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长
23. （本小题满分10分）已知集合，设，整除或整除.令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。
参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法。每小题5分，共计70分。
1. 52. 63.4. 75.
  6. -37.（或（-1,2））8. 39.
  10.11.12.13. 414.
  二、解答题：
  15. 本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分.
  解：（1）由余弦定理知，
  
  所以
  （2）由正弦定理知，，所以
  因为，所以为锐角，则
  因此
  16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
  证明：（1）由题意知，为的中点，
  又为的中点，因此
  又因为平面平面
  所以平面
  （2）因为棱柱是直三棱柱，
  所以平面
  因为平面，所以
  又因为平面平面，，
  所以平面
  又因为平面，所以
  因为，所以矩形是正方形，因此
  因为平面，所以平面
  又因为平面，所以
  17.本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
  解：（1）由题意知，点的坐标分别为（5,40），（20,2.5）.
  将其分别代入，得
  解得
  （2）①由（1）知，，则点P的坐标为，
  设在点P处的切线交轴分别于点，，
  则的方程为，由此得.
  故.
  ②设，则.
  令，解得
  当时，是减函数；
  当时，是增函数.
  从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时
  答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米。
  18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分
  解：（1）由题意，得且，
  解得，则，
  所以椭圆的标准方程为
  （2）当轴时，，又，不合题意.
  当与轴不垂直时，设直线的方程为，
  将的方程代入椭圆方程，得，
  则，的坐标为，且
  .
  若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意.
  从而，故直线的方程为，
  则点的坐标为，从而
  因为，所以，解得
  此时直线方程为或
  19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.
  解：（1），令，解得
  当时，因为，所以函数在上单调递增；
  当时，时，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
  当时，时，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
  （2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而
  或
  又，所以当时，或当时，.
  设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，
  则在上，且在上均恒成立，
  从而，且，因此
  此时，，
  因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，
  所以，且，
  解得.
  综上
  20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.
  解：（1）证明：因为是同一个常数，
  所以依次构成等比数列.
  （2）令，则分别为.
  假设存在，使得依次构成等比数列，
  则，且
  令，则，且，
  化简得，且.
  将代入（*）式，
  ，则
  显然不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
  因此不存在，使得依次构成等比数列
  （3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，
  则，且.
  分别在两个等式的两边同除以及，并令，
  则，且.
  将上述两个等式两边取对数，得，
  且
  化简得，
  且
  再将这两式相除，化简得
  （**）.
  令，
  则.
  令，
  则.
  令，则
  令，则.
  由，
  知在和上均单调.
  故只有唯一零点，即方程（**）只有唯一解，故假设不成立.
  所以不存在及正整数，使得依次构成等比数列.
  21. [选做题]
  A. [选修4-1：几何证明选讲]
  本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分.
  证明：因为，所以
  又因为，所以，
  又为公共角，可知.
  B. [选修4-2：矩阵与变换]
  本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
  解：由已知，得，即，
  则即所以矩阵.
  从而矩阵的特征多项式，
  所以矩阵的另一个特征值为1
  C. [选修4-4：坐标系与参数方程]
  本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
  解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系.
  圆的极坐标方程为，
  化简，得
  则圆的直角坐标方程为，
  即，
  所以圆的半径为
[选修4-5：不等式选讲]