2015年全国高考文科数学试题及答案-重庆卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数 学（文史类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则

1. (B)(C)(D)
   2.“”是“”的
   1. 充要条件(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件

3.函数的定义域是

(A)(B)

(C)(D)

4.重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下

则这组数据中的中位数是

(A) 19 (B) 20 (C) 21.5 (D) 23

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A)(B)(C)(D)

6.若,则

(A)(B)(C)(D)

7.已知非零向量满足，且，则与的夹角为

(A)(B)(C)(D)

8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为

(A)(B)

(C)(D)

9.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为

(A)(B)

(C)(D)

10.若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为

(A)-3 (B) 1 (C) (D)3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.

11．复数的实部为________.

12.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.

13.设的内角A，B，C的对边分别为,且,则________.

14.设,则的最大值为 ________.

15.在区间上随机地选择一个数，则方程有两个负根的概率为________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分)

已知等差数列满足，前3项和=.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足=，=，求前n项和.

17、(本小题满分13分，（Ⅰ）小问10分，（Ⅱ）小问3分)

随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号	1	2	3	4	5
储蓄存款（千亿元）	5	6	7	8	10

（Ⅰ）求关于的回归方程

（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.

附：回归方程中

18、(本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分)

已知函数.

（Ⅰ）求的最小周期和最小值；

（Ⅱ）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像.当时，求的值域.

19、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分)

已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）确定的值；

（Ⅱ）若，讨论的单调性.

20、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分)

如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.

（Ⅰ）证明：AB平面PFE.

（Ⅱ）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

21、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分)

如题（21）图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.

（Ⅰ）若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.

（Ⅱ）若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

参考答案

一、选择题：每小题5分，满分50分。

1.C2.A3.D4.B5.B

6.A7.C8.D9.C10.B

二、填空题：每小题5分，满分25分。

11. -212.13. 414.15.

三、解答题：满分75分。

16.（本题13分）

解：（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得

化简得，

解得，

故通项公式，即

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

设的公比为，则，从而，

故的前项和

17.（本题13分）

解：（Ⅰ）列表计算如下

1 2 3 4 5	1 2 3 4 5	5 6 7 8 10	1 4 9 16 25	5 12 21 32 50
	15	36	55	120

这里

又，

从而，

故所求回归方程为

（Ⅱ）将代入回归方程课预测该地区2015年的人民币储蓄存款为（千亿元）

18.（本题13分）

解：（Ⅰ）

因此的最小正周期为，最小值为

（Ⅱ）由条件可知：

当时，有，从而的值域为，那么的值域为

故在区间上的值域是

19.（本题12分）

解：（Ⅰ）对求导的，

因为在处取得极值，所以，

即，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故

令，解得或

当时，，故为减函数；

当时，，故为增函数；

当时，，故为减函数；

当时，，故为增函数.

综上知在和内为减函数，在和内为增函数.

20.（本题12分）

（Ⅰ）证明：

如答（20）图，由知，为等腰中边的中点，故.

又平面平面，平面平面平面，所以平面，从而.

因，故.

从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面.

（Ⅱ）解：

设，则在直角中，

，

从而.

由知，，得，故，即.

由，

从而四边形的面积为

由（Ⅰ）知，平面，所以为四棱锥的高.

在直角中，.

体积，

故得，解得或，由于，可得或.

所以，或.

21.（本题12分）

解：（Ⅰ）由椭圆的定义，，故.

设椭圆的半焦距为，由已知，因此

即，从而

故所求椭圆的标准方程为

（Ⅱ）如答（21）图，由，得

由椭圆的定义，，

进而

于是

解得，故

由勾股定理得

，

从而，

两边除以，得

若记，则上式变成

由，并注意到关于的单调性，得，即.进而，即