2015年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

文科数学

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.

1. 设集合，，则（ ）
   A．B．C．D．
2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
   A．93B．123C．137D．167
   
3. 已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）

A．B．C．D．

4. 设，则（ ）

A．B．

C．D．

5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．B．

C．D．

6. “”是“”的（ ）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要

7. 根据右边框图，当输入为6时，输出的（ ）

A．B．C．D．

8. 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A．B．

C．D．

9. 设，则（ ）

A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数

10. 设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）

A．B．C．D．

11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元

12. 设复数，若，则的概率（ ）

A．B．C．D．

二.填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________

14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

15、函数在其极值点处的切线方程为____________.

16、观察下列等式：

1－

1－

1－

…………

据此规律，第n个等式可为______________________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

17．的内角所对的边分别为，向量与平行.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若求的面积.

18．如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

19.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

20．如图，椭圆经过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.

21. 设

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.

考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.

22. 选修4-1：几何证明选讲

如图，切于点，直线交于两点，垂足为.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若，求的直径.

23. 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出的直角坐标方程；

（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.

24. 选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求的最大值.

一、选择题：

1.A2.C3.B4.C5.D6.A

7.D8.B9.B10.C11.D12.C

二、填空题：

13.514.815.

16.

三、解答题：

17．解：

（Ⅰ）因为，所以

由正弦定理，得，

又，从而，

由于

所以

（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得

，而，，

得，即

因为，所以，

故面积为.

解法二：由正弦定理，得

从而

又由，知，所以

故

，

所以面积为.

18.解：

（Ⅰ）在图1中，

因为是的中点，

，所以

即在图2中，，

从而平面，

又，

所以平面

（Ⅱ）由已知，平面平面，

且平面平面，

又由（Ⅰ），，

所以平面，

即是四棱锥的高，

由图1知，，平行四边形的面积，

从而四棱锥的为

由，得

19.解：

（Ⅰ）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是

（Ⅱ）称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等），这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，

以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.

20.解：

（Ⅰ）由题意知，

结合，解得，

所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得

，

由已知，

设，

则，

从而直线与的斜率之和

.

21.解：

（Ⅰ）解法一：由题设，

所以①

则②

①②得

，

所以

解法二：

当时，，

则

可得

（Ⅱ）因为

，

所以在内至少存在一个零点，

又

所以在内单调递增，

因此，在内有且只有一个零点，

由于，

所以

由此可得

故

所以

22.解：

（Ⅰ）因为是的直径，

则

又，所以

从而

又切于点，

得

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，

则，

又，从而，

所以

所以，

由切割线定理得

即，

故，

即的直径为3.

23.解：

（Ⅰ）由，

得，

从而有

所以

（Ⅱ）设，又，

则，

故当时，取得最小值，

此时，点的直角坐标为.

24.解：

（Ⅰ）由，得

则，解得

（Ⅱ）

当且仅当即时等号成立，

故