2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标2

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．B．C．D．

2．若a为实数，且，则a=

A．-4B．-3C．3D．4

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4．向量，，则

A．-1B．0C．1D．3

5．设S_n等差数列的前n项和。若a₁+a₃+a₅ = 3，则S₅=

A．5B．7C．9D．11

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

A．B．C．D．

7．已知三点，，，则ΔABC外接圆的圆心到原点的距离为

A．B．C．D．

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=

A．0B．2C．4D．14

9．已知等比数列满足，a₃a₅=，则a₂=

A．2B．1C．D．

10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36πB．64πC．144πD．256π

11．如图，长方形ABCD的边AB = 2，BC = 1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB=x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为

12．设函数，则使得成立的x的取值范围是

A．B．C．D．

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数的图象过点，则a = _________。

14．若x，y满足约束条件，则的最大值为__________。

15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________。

16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a = __________。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。

（1）求；

（2）若，求。

18．（本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评分分组
频 数	2	8	14	10	6

（1）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB = 16，BC = 10，AA₁ = 8，点E，F分别在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，点在C上。

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

21．（本小题满分12分）

已知函数。

（1）讨论的单调性；

（2）当有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C₁：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α< π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：，C₃：。

（1）求C₂与C₃交点的直角坐标；

（2）若C₁与C₂相交于点A，C₁与C₃相交于点B，求的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：

（1）若ab>cd；则；

（2）是的充要条件。

一．选择题

（1）A（2）D（3）D（4）C（5）A（6）D

（7）B（8）B（9）C（10）C（11）B（12）A

二．填空题

（13）-2（14）8（15）（16）8

三．解答题

（17）解：

（Ⅰ）由正弦定理得

因为平分，所以

（Ⅱ）因为，所以

由（Ⅰ）知，所以，即

（18）解：

（Ⅰ）

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

记表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”； 记表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”。

由直方图得的估计值为

的估计值为

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

（19）解：

（Ⅰ）交线围成的正方形如图：

（Ⅱ）作，垂足为M，则

因为为正方形，所以

于是

因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）

（20）解：

（Ⅰ）由题意有，

解得

所以的方程为

（Ⅱ）设直线

将代入得

故

于是直线OM的斜率，即

所以直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值。

（21）解：

（Ⅰ）的定义域为

若，则，所以在单调递增

若，则当时，；当时，。所以在单调递增，在单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为

因此等价于

令，则在单调递增，

于是，当时，；当时，

因此，的取值范围是

（22）解：

（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线

又因为分别与AB，AC相切于点E，F，所以，故

从而

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，故是的垂直平分线.又为的弦，所以在上

连结，则

由等于的半径得，所以，因此和都是等边三角形

因为，所以

因为，所以，于是

所以四边形的面积为

（23）解：

（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.

联立解得或

所以与交点的直角坐标为和

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中

因此的极坐标为，的极坐标为

所以

当时，取得最大值，最大值为4

（24）解：

（Ⅰ）因为，

由题设得

因此

（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即

因为，所以

由（Ⅰ）得

（ⅱ）若，则，即

因为，所以，于是

因此

综上，是的充要条件