2015年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷

2015年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1. 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2. 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

（A）（B）（C）（D）

（3）设，则p是q成立的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）

（A）（B）（C）（D）

5、已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

（A）若，垂直于同一平面，则与平行

（B）若，平行于同一平面，则与平行

（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线

（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

6、若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为（ ）

（A）（B）（C）（D）

7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

8、是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）

（A）（B）（C）（D）

9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

（A），，（B），，

（C），，（D），，

10、已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

第二卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.的展开式中的系数是 （用数字填写答案）

1. 在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是

13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为

1. 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于

15. 设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）

；；；;.

三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在中，，点D在边上，，求的长。

17.（本小题满分12分）

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）

（18）（本小题满分12分）

设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，

（1）求数列的通项公式；

（2）记，证明.

19.（本小题满分13分）

如图所示，在多面体中，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F

（1）证明：

（2）求二面角余弦值.

1. （本小题满分13分）

设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.

（I）求E的离心率；

（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

21.（本小题满分13分）

设函数.

（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

（2）记上的最大值D；

（3）在（2）中，取

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

（1）B（2）A（3）A（4）C（5）D

（6）C（7）B（8）D（9）C（10）A

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，共25分。

（11）35（12）6（13）4（14）（15）①③④⑤

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）

解：设的内角所对边的长分别是

由余弦定理得

所以

又由正弦定理得

由题设知，所以

在中，由正弦定理得

（17）（本小题满分12分）

解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，

（2）的可能取值为200,300,400

故的分布列为

	200	300	400

（18）（本小题满分12分）

（1）解：，曲线在点（1,2）处的切线斜率为，

从而切线方程为

令，解得切线与轴交点的横坐标

（2）证：由题设和（1）中的计算结果知

当时，

当时，因为

所以

综上可得对任意的，均有

（19）（本小题满分13分）

（1）证：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，面面，所以

（2）解：因为四边形均为正方形，所以，且，以A为原点，分别以为轴，轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标，，，，而点为的中点，所以点的坐标为（0.5,0.5,1）

设面的法向量，而该面上向量=（0.5,0.5,0），=（0，1，-1），由，得应满足的方程组

（-1,1,1）为其一组解，所以可取=（-1,1,1）

设面的法向量，而该面上向量=（0.5,0.5,0），=（0，1，-1），由此同理可得

所以结合图形知二面角的余弦值为

（20）（本小题满分13分）

解：

（1）由题设条件知，点M的坐标为，又，从而，

进而得，故

（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，

直线的方程为，点N的坐标为，

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，

则线段NS的中点T的坐标为，又点T在直线AB上，且，

从而有解得

所以，故椭圆E的方程为

（21）（本小题满分13分）

解：

（1）

因为，所以

①时，函数单调递增，无极值

②时，函数单调递减，无极值

③对于，在内存在唯一的，使得，

时，函数单调递减；

时，函数单调递增

因此，时，函数在处有极小值

（2）时，，

当时，取，等号成立，

当时，取，等号成立。

由此可知，在上的最大值为

（3）即为，此时，从而

取，则，并且

由此可知，满足条件的最大值为1