2015年全国高考理科数学试题及答案-天津卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分

参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，

P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh

其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积，

h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集，集合，集合，则集合

（A）（B）（C）（D）

（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

（A）3

（B）4

（C）18

（D）40

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

（A）-10

（B）6

（C）14

（D）18

（4）设，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点.若，则线段的长为

（A）（B）3

（C）（D）

（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为

（A）（B）

（C）（D）

（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，则的大小关系为

（A）（B）

（C）（D）

（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是

（A）（B）

（C）（D）

第Ⅱ卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.

（11）曲线与直线 所围成的封闭图形的面积为 .

（12）在的展开式中， 的系数为 .

（13）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则 的值为 .

（14）在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和 上, 且，则的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分13分）已知函数，

（Ⅰ）求最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

16. （本小题满分13分）

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

17. （本小题满分13分）

如图，在四棱柱中，侧棱，，，，，且点M和N分别为的中点.

（Ⅰ）求证： MN∥平面ABCD

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长

18. （本小题满分13分）

已知数列满足，且，，成等差数列.

（Ⅰ）求q的值和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为，.

（Ⅰ）求直线FM的斜率；

（Ⅱ）求椭圆的方程；

（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

20. （本小题满分14分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；

（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：.

2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

（1）A （2）C （3）B （4）A

（5）A （6）D （7）C （8）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。

（9）-2 （10）（11）

（12） （13）8 （14）

三、解答题

（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。

（Ⅰ）解：由已知，有

=

所以，的最小正周期

（Ⅱ）解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.

（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

（Ⅰ）解：由已知，有

所以，事件A发生的概率为.

（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

所以，随见变量的分布列为

	1	2	3	4

随机变量的数学期望

（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,

,.

又因为M,N分别为和的中点，得,.

（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量..由此可得，又因为直线平面，所以∥平面.

（Ⅱ）解：，设为平面的法向量，

则即

不妨设，可得.

设为平面的法向量，则

又，得

不妨设，可得.

因此有，于是.

所以，二面角的正弦值为。

（Ⅲ）解：依题意，可设，其中，则，从而。

又为平面的一个法向量，

由已知，得=，整理得，

又因为，解得.

所以，线段的长为.

(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.

（Ⅰ）解：由已知，有，即，

所以.

又因为，故，由，得.

当时，；

当时，.

所以，的通项公式为

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得.设的前n项和为，则

，

，

上述两式相减，得

，

整理得，.

所以，数列的前n项和为，.

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.

（Ⅰ）解：由已知有，又由，可得.

设直线的斜率为，则直线的方程为.

由已知，有+，解得.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线的方程为，

两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.

因为点M在第一象限，可得M的坐标为.

由，解得，

所以椭圆的方程为.

（Ⅲ）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，

与椭圆方程联立消去，整理得.

又由已知，得，解得，或.

设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.

① 当时，有，因此，于是，得.

② 当时，有，因此，于是，得.

综上，直线的斜率的取值范围是.

（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.

（Ⅰ）解：由=，可得，其中，且.

下面分两种情况讨论：

（1）当为奇数时.

令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

	-	+	-

所以，在，上单调递减，在内单调递增。

（2）当为偶数时.

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

所以，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.

由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.

（Ⅲ）证明：不妨设.由（Ⅱ）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（Ⅱ）知，可得.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.

设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.

由此可得.

因为，所以，故.

所以，.