2016年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试

上海 数学试卷(理工农医类)

考生注意：

1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟. PF制作
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 设，则不等式的解集为________.PF制作
2. 设，其中为虚数单位，则________.
3. 已知平行直线：，：，则与的距离是________.
4. 某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，则这组数据的中位数是________（米）.
5. 已知点在函数的图像上，则的反函数________.
6. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成的角的大小为，则该正四棱柱的高等于________. PF制作
7. 方程在区间上的解为________.
8. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于________.
9. 已知△的三边长分别为，则该三角形的外接圆半径等于________.
10. 设，. 若关于的方程组无解，则的取值范围是________.
11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和. 若对任意，，则的最大值为________.
12. 在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是________.
13. 设，. 若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为________. PF制作
14. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，. 任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是________.
    二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 设，则“”是“”的（ ）.
    (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
    (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）.
    (A)(B)
    (C)(D)
17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且. 下列条件中，使得恒成立的是（ ）. PF制作
    (A)，(B)，
    (C)，PF制作(D)，
    
18. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数. 下列判断正确的是（ ）. PF制作
    (A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题
    (C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题
    三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
    将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧. PF制作
    1. 求三棱锥的体积；
    2. 求异面直线与所成的角的大小.
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
    有一块正方形菜地，所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图.
    1. 求菜地内的分界线的方程；PF制作
    2. 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为. 设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
    双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点.
    1. 若的倾斜角为，△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
    2. 设. 若的斜率存在，且，求的斜率.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
    已知，函数.
    1. 当时，解不等式；
    2. 若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；PF制作
    3. 设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
    若无穷数列满足：只要（），必有，则称具有性质.
    1. 若具有性质，且，，，，，求；
    2. 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；
    3. 设是无穷数列，已知（）. 求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
       2016年普通高等学校招生全国统一考试
       上海 数学试卷(理工农医类)
       答案要点及评分标准
       一、（第1题至第14题）
       1. .2..3..PF制作4..5..6..7..

8..9..10..11..12..13..14..

二、（第15题至第18题）PF制作

三、（第19题至第23题）

1. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
   1. 由题意可知，圆柱的高，底面半径.
      由长为，可知.
      ，
      .
   2. 设过点的母线与下底面交于点，则，
      所以或其补角为直线与所成的角.
      由长为，可知，
      又，所以，PF制作
      从而△为等边三角形，得.
      因为平面，所以.
      在△中，因为，，，所以，
      从而直线与所成的角的大小为.
2. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
   1. 因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为.
      (2)依题意，点的坐标为.
      所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为.
      矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”.
3. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
   1. 设. PF制作
      由题意，，，，
      因为△是等边三角形，所以，
      即，解得.
      故双曲线的渐近线方程为.
   2. 由已知，，.
      设，，直线：. 显然.
      由得. PF制作
      因为与双曲线交于两点，所以，且.
      设的中点为.
      由即，知，故.
      而，，，
      所以，得，故的斜率为.
4. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. PF制作
   1. 由，得，
      解得.
   2. ，，
      当时，，经检验，满足题意.
      当时，，经检验，满足题意. PF制作
      当且时，，，.
      是原方程的解当且仅当，即；
      是原方程的解当且仅当，即.
      于是满足题意的.
      综上，的取值范围为. PF制作
      (3)当时，，，
      所以在上单调递减.
      函数在区间上的最大值与最小值分别为.
      即对任意成立.
      因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得.
      故的取值范围为. PF制作
5. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. PF制作
   1. 因为，所以，，. PF制作
      于是，又因为，解得.
   2. 的公差为，的公比为，PF制作
      所以，.
      .
      ，但，，，
      所以不具有性质.

(3)[证]充分性：
当为常数列时，.
对任意给定的，只要，则由，必有.
充分性得证.
必要性：
用反证法证明. 假设不是常数列，则存在，
使得，而. PF制作
下面证明存在满足的，使得，但.
设，取，使得，则
，，故存在使得.
取，因为，所以，
依此类推，得.
但，即.
所以不具有性质，矛盾.
必要性得证.
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

PF制作