2016年全国高考理科数学试题及答案-天津卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分

参考公式：

•如果事件，互斥，那么.

•如果事件，相互独立，那么.

•圆柱的体积公式.其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.

•圆锥的体积公式.其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高.

第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合则=

（A）（B）（C）（D）

（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为

（A）（B）6（C）10（D）17

（3）在△ABC中，若,BC=3，,则AC=

（A）1（B）2（C）3（D）4

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

（A）2（B）4（C）6（D）8

（5）设{a_n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a_2n−1+a_2n<0”的

（A）充要条件（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（6）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为

（A）（B）（C）（D）

（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为

（A）（B）（C）（D）

（8）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}

第II卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则的值为_______.

（10）的展开式中的系数为__________.(用数字作答)

（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m³.

（第11题图）

（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

(13)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足f(2^|a-1|)＞f（-），则a的取值范围是______.

(14)设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(15) 已知函数f(x)=4tanxsin()cos()—.

(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.

（16）（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d。对任意的n,是和的等比中项。

1. 设=，n，求证：数列{}是等差数列；
2. 设=d，T=，n，求证：<.

（19）（本小题满分14分）

设椭圆+=1（>）的右焦点为F，右顶点为A.已知,其中O为原点，e为椭圆的离心率。

1. 求椭圆的方程；
2. 设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA∠MAO,求直线l的斜率的取值范围。

（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)=（x-1）³-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。

1. 求f(x)的单调区间；
2. 若f(x)存在极值点x₀，且f(x₁)=f(x₀)，其中x₁≠x₀，求证：x₁+2x₀=3；
3. 设a＞0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

一、选择题：

（1）【答案】D

（2）【答案】B

（3）【答案】A

（4）【答案】B

（5）【答案】C

（6）【答案】D

（7）【答案】B

（8）【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题：

（9）【答案】2

（10）【答案】

（11）【答案】2

（12）【答案】

（13）【答案】

(14) 【答案】

三、解答题

（15）

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性

试题解析：解：的定义域为.

.

所以,的最小正周期

解：令函数的单调递增区间是

由,得

设，易知.

所以, 当时,在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式

【结束】

(16)

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望

试题解析：解：由已知，有

所以，事件发生的概率为.

随机变量的所有可能取值为

，

，

.

所以，随机变量分布列为

随机变量的数学期望.

考点：概率，概率分布与数学期望

(17)

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值

试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.

考点：利用空间向量解决立体几何问题

(18)

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.

试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.

（II）证明：

所以.

考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和

（19）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围

试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.

解得，或，由题意得，从而.

由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.

设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.

所以，直线的斜率的取值范围为.

考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

（20）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.

试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.

下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

	＋	0	－	0	＋
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；

（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：

（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，所以.

（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，

所以在区间上的取值范围为，因此

.

（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此

.

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。