2018全国Ⅱ理科数学高考真题

全国二——理科数学

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共5页。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为

A.9

B.8

C.5

D.4

3.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为

A.

B.

C.

D.

4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=

A.4

B.3

C.2

D.0

5.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±

D.y=±

6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=

A.4

B.

C.

D.2

7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=i+3

D.i=i+4

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

9.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=则异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为

B.

10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是

1. 
2. 
3. 
4. π

11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=

A.-50   

B.0   

C.2    

D.50

12.已知F₁，F₂是椭圆C:=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF₁F₂为等腰三角形，∠F₁F₂P=120°，则C的离心率为

A..   

B.   

C.   

D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。

14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。

15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________。

16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为,则该圆锥的侧面积为________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₁=-15。

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）求S_n，并求S_n的最小值。

18.（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t。

1. 分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
2. 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

19.（12分）

设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，| AB|=8。

1. 求l的方程；
2. 求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。

20.（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。

21、（12分）

已经函数f（x）=e^x-ax²。

（1）若a=1，证明：当x≥ 0时，f（x）≥ 1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a。

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为（ θ 为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）。

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率。

23：[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数f（x）=5-| x+a|-| x-2|。

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥ 0的解集；

（2）若f（x）≤ 1时，求a的取值范围。