2016年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合则
   A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．
   【答案】B
   【解析】根据补集的运算得．故选B．
2. 已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足则
   A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n
   【答案】C
   
3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
   中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=
   A．2 B．4 C．3D．
   【答案】C
   【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
   
4. 命题“，使得”的定义形式是
   A．，使得B．，使得
   C．，使得D．，使得
   【答案】D
   【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
5. 设函数，则的最小正周期
   A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
   C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
   【答案】B
   
6. 如图，点列{A_n}，{B_n}分别在某锐角的两边上，且，
   ，（）.
   若
   
   A．是等差数列 B．是等差数列
   C．是等差数列 D．是等差数列
   【答案】A
   【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．学优高考网
7. 已知椭圆C₁：+y²=1(m>1)与双曲线C₂：–y²=1(n>0)的焦点重合，e₁，e₂分别为C₁，C₂的离心率，则
   A．m>n且e₁e₂>1 B．m>n且e₁e₂<1 C．m<n且e₁e₂>1 D．m<n且e₁e₂<1
   【答案】A
   【解析】由题意知，即，，代入，得．故选A．
8. 已知实数a，b，c
   A．若|a²+b+c|+|a+b²+c|≤1，则a²+b²+c²<100
   B．若|a²+b+c|+|a²+b–c|≤1，则a²+b²+c²<100
   C．若|a+b+c²|+|a+b–c²|≤1，则a²+b²+c²<100
   D．若|a²+b+c|+|a+b²–c|≤1，则a²+b²+c²<100
   【答案】D
   
   二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9. 若抛物线y²=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
   【答案】
   【解析】
10. 已知2cos²x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
    【答案】
    【解析】，所以
11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm²，体积是 cm³.
    
    【答案】
    【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为
12. 已知a>b>1.若log_ab+log_ba=，a^b=b^a，则a= ，b= .

【答案】

【解析】设，因为，

因此

13.设数列{a_n}的前n项和为S_n.若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*，则a₁= ，S₅= .

【答案】

14. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

【答案】

【解析】中，因为，

所以.

由余弦定理可得

，

所以.

设，则，.

在中，由余弦定理可得

.

故.

在中，，.

由余弦定理可得，

所以.

过作直线的垂线，垂足为.设

则，

即，

解得.

而的面积.

设与平面所成角为，则点到平面的距离.

故四面体的体积

.

设，因为，所以.

则.

（2）当时，有，

故.

此时，

.

由（1）可知，函数在单调递减，故.

综上，四面体的体积的最大值为.

15. 已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜,则a·b的最大值是 ．

【答案】

【解析】，即最大值为

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acosB.

（I）证明：A=2B；

（II）若△ABC的面积，求角A的大小.

【试题分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．

（II）由得，故有

，

因，得．

又，，所以．

当时，；

当时，．

综上，或．

17. (本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面

,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【试题分析】（I）先证，再证，进而可证平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．学优高考网

（II）方法一：

过点作，连结．

因为平面，所以，则平面，所以．

所以，是二面角的平面角．

在中，，，得．

在中，，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值为．

18. （本小题15分）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x²−2ax+4a−2}，

其中min{p，q}=

（I）求使得等式F（x）=x²−2ax+4a−2成立的x的取值范围；

（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

【试题分析】（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．

（II）（i）设函数，，则

，，

所以，由的定义知，即

．

（ii）当时，

，

当时，

．

所以，

．

19. （本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.

（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

【试题解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得

，

故

，．

因此

．

（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足

．

记直线，的斜率分别为，，且，，．

20.（本题满分15分）设数列满足，．

（I）证明：，；

（II）若，，证明：，．

【试题分析】（I）先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）可得，进而可得，再利用的任意性可证．

（II）任取，由（I）知，对于任意，

，

故

．

从而对于任意，均有