2018天津文科数学高考真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．

·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．

·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合，，，则

（A）（B）

（C）（D）

（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

（A）6（B）19

（C）21（D）45

（3）设，则“”是“” 的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为

（A）1（B）2（C）3（D）4

（5）已知，则的大小关系为

（A）（B）（C）（D）

（6）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

（A）在区间上单调递增（B）在区间上单调递减

（C）在区间上单调递增（D）在区间上单调递减

（7）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为

（A）（B）

（C）（D）

（8）在如图的平面图形中，已知,则的值为

（A）（B）

（C）（D）0

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i是虚数单位，复数=__________．

（10）已知函数f(x)=e^xlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________．

（11）如图，已知正方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则四棱柱A₁–BB₁D₁D的体积为__________．

（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2^a+的最小值为__________．

（14）已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

（16）（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–)．

（Ⅰ）求教B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．

（17）（本小题满分13分）

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

（18）（本小题满分13分）

设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n（n∈N^*）；{b_n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T_n（n∈N^*）．已知b₁=1，b₃=b₂+2，b₄=a₃+a₅，b₅=a₄+2a₆．

（Ⅰ）求S_n和T_n；

（Ⅱ）若S_n+（T₁+T₂+…+T_n）=a_n+4b_n，求正整数n的值．

（19）（本小题满分14分）

设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.

（20）（本小题满分14分）

设函数，其中,且是公差为的等差数列.

（I）若求曲线在点处的切线方程；

（II）若，求的极值；

（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1）C（2）C（3）A（4）B

（5）D（6）A（7）A（8）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．

（9）4–i（10）e（11）

（12）（13）（14）［，2］

三、解答题

（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以，事件M发生的概率为P（M）=．

（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．

（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．因此，

所以，

（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．

（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．

所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．

（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD==4．

在Rt△CMD中，．

所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

（I）解：设等比数列的公比为q，由b₁=1，b₃=b₂+2，可得.

因为，可得，故.所以.

设等差数列的公差为.由，可得.由，可得从而，故，所以.

（II）解：由（I），知

由可得，

整理得解得（舍），或.所以n的值为4.

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而.

所以，椭圆的方程为.

（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，

点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，

从而，即.

易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.

当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.

所以，的值为.

（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.

（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x³−x，故f‵(x)=3x−1，因此f(0)=0，=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0.

（Ⅱ）解：由已知可得

f(x)=(x−t₂+3)(x−t₂) (x−t₂−3)=(x−t₂)³−9 ( x−t₂)=x³−3t₂x²+(3t₂²−9)x−t₂²+9t₂.

故= 3x³−6t₂x+3t₂²−9.令=0，解得x=t₂−，或x=t₂+.

当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：

x	(−∞，t2−)	t2−	(t2−，t2+)	t2+	(t2+，+∞)
	+	0	−	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数f(x)的极大值为f(t₂−)=(−)³−9×(−)=6；函数小值为f(t₂+)=()³−9×()=−6.

（III）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t₂)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t₂+d) (x−t₂) (x−t₂−d)+ (x−t₂)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=x−t₂，可得u³+(1−d²)u+6=0.

设函数g(x)=x³+(1−d²)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t₂)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.

=3x³+(1−d²).

当d²≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意.

当d²>1时，=0，解得x₁=，x₂=.

易得，g(x)在(−∞，x₁)上单调递增，在[x₁，x₂]上单调递减，在(x₂， +∞)上单调递增，

g(x)的极大值g(x₁)=g()=>0.

g(x)的极小值g(x₂)=g()=−.

若g(x₂) ≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意.

若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意.

所以的取值范围是