2018天津理科数学高考真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么.

如果事件A，B相互独立，那么.

棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.

棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集为R，集合，，则
   1. (B)
      (C)(D)
2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
   1. 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
   1. 1(B) 2 (C) 3 (D) 4
      
4. 设，则“”是“”的
   1. 充分而不必要条件
   2. 必要而不充分条件
   3. 充要条件
   4. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
   1. (B)(C)(D)
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
   1. 在区间上单调递增(B)在区间上单调递减
      (C)在区间上单调递增(D)在区间上单调递减
      (7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
      1. (B)
         (C)(D)
         (8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
         1. (B)(C)(D)

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2. 本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) i是虚数单位，复数.

(10) 在的展开式中，的系数为 .

(11) 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .

(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .

(13)已知，且，则的最小值为 .

(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分13分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（I）求角B的大小；

（II）设a=2，c=3，求b和的值.

(16)(本小题满分13分)

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

(17)(本小题满分13分)

如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；

（II）求二面角的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

(18)(本小题满分13分)

设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前n项和为，

（i）求；

（ii）证明.

(19)(本小题满分14分)

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.

若(O为原点) ，求k的值.

(20)(本小题满分14分)

已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；

（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

参考答案：

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1）B（2）C（3）B（4）A

（5）D（6）A（7）C（8）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．

（9）4–i（10）（11）

（12）（13）（14）

三、解答题

（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．

（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．因此，

所以，

（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P

随机变量X的数学期望．

（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．

所以，事件A发生的概率为．

（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．

（Ⅰ）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n₀=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n₀=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．

（Ⅱ）解：依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．

设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．

因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．

所以，二面角E–BC–F的正弦值为．

（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．

易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故

，

由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．

所以线段的长为.

（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.

因为，可得，故.

设等差数列的公差为d，由，可得由，

可得从而故

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为

（II）（i）由（I），有，故

.

（ii）证明：因为

，

所以，.

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a²=b²+c²，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．

所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂）．由已知有y₁>y₂>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y₁=9y₂．

由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组

消去x，可得．由5y₁=9y₂，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．

所以，k的值为

（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.

（I）解：由已知，，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：

x		0
		0	+
		极小值

所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.

（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.

由，可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行，故有，即.

两边取以a为底的对数，得，所以.

（III）证明：曲线在点处的切线l₁：.

曲线在点处的切线l₂：.

要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l₁和l₂重合.

即只需证明当时，方程组有解，

由①得，代入②，得. ③

因此，只需证明当时，关于x₁的方程③有实数解.

设函数，即要证明当时，函数存在零点.

，可知时，；时，单调递减，又

，，故存在唯一的x₀，且x₀>0，使得，即

.

由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.

因为，故，

所以.

下面证明存在实数t，使得.

由（I）可得，

当时，

有，

所以存在实数t，使得

因此，当时，存在，使得.

所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.#