2015上海市高考压轴卷数学（文）Word版含解析

2015上海高考压轴卷

文科数学

1. 填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．把答案填在答题卡的相应位置
   1.已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=　　．
   2.复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=　　．
   3.已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为               ．
   4.已知，则的值为              ．
   5.如图，在中，是边上一点，，则的长为    
   
   6.
   围是__________________.
   7.已知函数（其中）经过不等式组所表示的平面区域，则实数的取值范围是         ．
   8.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.
   
   9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k=_____________.
   10. 已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为
   ______________.
   11.若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数a的值为     ．
   12. 直线l过点（1，1），且与圆（x-2）²+（y-2）²=8相交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为_________________.
   13. 已知F₁、F₂为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：
   ①△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=3上；
   ②△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=2上；
   ③△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线OP上；
   ④△PF₁F₂的内切圆必过（3，0）．
   其中真命题的序号是__________________.
   14.给出如下五个结论：
   ①若为钝角三角形，则
   ②存在区间（）使为减函数而＜0
   ③函数的图象关于点成中心对称
   ④既有最大、最小值，又是偶函数
   ⑤最小正周期为π
   其中正确结论的序号是            .
2. 填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．把答案填在答题卡的相应位置

15. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₈=32，则a₂+a₇=（　　）

A.1 B.4 C.8 D.9

16. 已知向量a，b的夹角为，，且对任意实数x，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

17.

18.已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(  )

1. B.       C.      D.

1. 选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

15. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₈=32，则a₂+a₇=（　　）

A.1 B.4 C.8 D.9

16. 已知向量a，b的夹角为，，且对任意实数x，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

17. . 函数y=的图象可能是（　　）

　 A． B．C．D．

18.已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(  )

1. B.       C.      D.

1. 选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

15.设等差数列的前n项和为,若，,则

  A．18       B．36       C．54        D．72

16.已知向量a，b的夹角为，，且对任意实数x，不等式恒成立，则

A．       B．1 C． 2      D．

17.已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x²＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是x

A．“p或q”为真命题           B．“p且q”为假命题

C．“綈p且q”为真命题        D．“綈p或綈q”为真命题

18.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是              (  )

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

19.已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x²+y²=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．

（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；

（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

20.（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；

（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．

甲班（A方式） 乙班（B方式） 总计

成绩优秀  

成绩不优秀  

总计  

附：K²=

P（（K²≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

21.如图3，在多面体中，平面，∥，平面平面，，，．

（1）求证：∥；

（2）求三棱锥的体积．

22.已知递增的等比数列{a_n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．

（1）求等比数列{a_n}的通项公式；

（2）记b_n=a_n+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

23.（本题满分12分）已知函数.

（1） 若，求在处的切线方程；

（2）若在R上是增函数，求实数的取值范围.

2015上海高考压轴卷数学文word版参考答案

1.{3，4}

解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，

∴则A∩B={3,4}

2.4﹣3i

3.16

4.

5.  

6.

7.

8.

9.11

10.

11.

12.x+y-2=0

13.①④

14.③④

15.c

16.C

17. .B

【考点】： 函数的图象．

【专题】： 函数的性质及应用．

【分析】： 当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．

解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．

当x＞0时，，

当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．

故选B

18.D

19.【考点】： 椭圆的简单性质．

【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】： （Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；

（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

（Ⅰ）由得4x²+2x+1﹣a=0，

则x₁+x₂=，x₁x₂=，

则|AB|==，解得a=2．

（Ⅱ）由，得（3+k²）x²+2kx+1﹣a=0，

则x₁+x₂=﹣，x₁x₂=，

由=2得（﹣x₁，1﹣y₁）=2（x₂，y₂﹣1），

解得x₁=﹣2x₂，代入上式得：

x₁+x₂=﹣x₂=﹣，则x₂=，

==，

当且仅当k²=3时取等号，此时x₂=，x₁x₂=﹣2x₂²=﹣2×，

又x₁x₂==，

则=，解得a=5．

所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x²+y²=5．

【点评】： 本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．

20.【考点】： 独立性检验的应用．

【专题】： 计算题；概率与统计．

【分析】： （1）利用列举法确定基本事件的个数，由此能求出抽出的两个均“成绩优秀”的概率；

（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K²≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．

【解答】： 解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A．

从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，（4分）

而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个．            （6分）

所以所求概率为P（A）==                  （7分）

（2）由已知数据得：

甲班（A方式） 乙班（B方式） 总计

成绩优秀 1 5 6

成绩不优秀 19 15 34

总计 20 20 40

（9分）

根据2×2列联表中数据，K²=≈3.137＞2.706

所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．   （12分）

【点评】： 本题考查古典概型概率的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题．

21.（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）由∥，可证∥平面，进而可证∥；（2）在平面内作于点，先证平面，再算出，利用锥体的体积公式即可得三棱锥的体积．

试题解析：（1）证明：∵∥，平面，平面，

∴∥平面. …………………2分

又平面，平面平面，

∴∥．  ………………………………4分

（2）解: 在平面内作于点，

∵平面，平面，

∴.    ………………………………5分

∵平面，平面，，

∴平面.                                   ………………………………7分

∴是三棱锥的高．                          ………………………………8分

在Rt△中，，，故.     ………………………………9分

∵平面，平面，

∴.                                        ………………………………10分

由（1）知，∥，且∥，

∴∥.                               …………………………………………11分

∴.                                …………………………………………12分

∴三棱锥的体积． …………………14分

考点：1、线线平行、线面平行；2、锥体的体积；3、线面垂直．

22.【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解：（1）设等比数列前三项分别为a₁，a₂，a₃，

则a₁+1、a₂+2、a₃+2又成等差数列．依题意得：，

即，

解之得，或（数列{a_n}为递增等比数列，舍去），

∴数列{a_n}的通项公式：．

（2）由b_n=a_n+2n得，，

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2⁰+2×1）+（2¹+2×2）+（2²+2×3）+…+（2^n﹣1+2n）

=（2⁰+2¹+2²+…+2^n﹣1）+2（1+2+3+…+n）

=．

【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23.(1)由题意知：，

  切线方程：……………………………………………6分

  （2）由题意知，因为函数在R上增函数，所以在R上恒成立，即恒成立.      ……………………………………………8分

整理得：

   令，则，因为，所以

  在上单调递减

  在上单调递增

   所以当时，有极小值，也就是最小值. ……………………………… 11分

   所以a的取值范围是……………………………………………………12分