2015上海市高考压轴卷数学（理）Word版含解析

2015上海高考压轴卷

理科数学

1. 填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．把答案填在答题卡的相应位置
   1.已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=　　．
   2.复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=　　．
   3.已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为               ．
   4.已知，则的值为              ．
   5.如图，在中，是边上一点，，则的长为    
   
   6.
   围是__________________.
   7.已知函数（其中）经过不等式组所表示的平面区域，则实数的取值范围是         ．
   8.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.
   
   9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k=_____________.
   10. 已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为
   ______________.
   11.若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数a的值为     ．
   12.两曲线所围成的图形的面积是_________.
   13. 已知F₁、F₂为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：
   ①△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=3上；
   ②△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=2上；
   ③△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线OP上；
   ④△PF₁F₂的内切圆必过（3，0）．
   其中真命题的序号是__________________.
   14.给出如下五个结论：
   ①若为钝角三角形，则
   ②存在区间（）使为减函数而＜0
   ③函数的图象关于点成中心对称
   ④既有最大、最小值，又是偶函数
   ⑤最小正周期为π
   其中正确结论的序号是            .
2. 选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

15. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₈=32，则a₂+a₇=（　　）

A.1 B.4 C.8 D.9

16. 已知向量a，b的夹角为，，且对任意实数x，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

17.已知展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则

A．       B．         C．         D．

18.已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(  )

1. B.       C.      D.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

19.（本小题满分14分）

如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值.

20.（15分）（2015•嘉兴一模）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B两点，且|AB|=4

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

21.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面为菱形，.

（1）求证：;

（II）求二面角的余弦值.

22已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x²+y²=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．

（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；

（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

23.（本小题满分12分）

    已知函数

1. 判断函数g(x)的单调性；

  (Ⅱ)是否存在实数m，使得 对任意x≥1恒成立，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

2015上海高考压轴卷数学理word版参考答案

1.{3，4}

解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，

∴则A∩B={3,4}

2.4﹣3i

3.16

4.

5.  

6.

7.

8.

9.11

10.

11.

12.

13.①④

14.③④

15.c

16.C

17.A

18.D

19.（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）由，，可证平面，进而可证平面；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角的平面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：∵点，分别是边，的中点，

∴∥.                                …………………………1分

∵菱形的对角线互相垂直，

∴.

∴.

∴，.                    …………………………2分

∵平面，平面，，

∴平面.                          …………………………3分

∴平面.                          …………………………4分

（2）解法1：设，连接，

∵，

∴△为等边三角形.

∴，，，. ……5分

在R t△中，，

在△中，，

∴.                                  …………………………6分

∵，，平面，平面，

∴平面.                           …………………………7分

过作，垂足为，连接，

由（1）知平面，且平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.                            …………………………8分

∵平面，

∴.                                  …………………………9分

∴为二面角的平面角.         …………………………10分

在Rt△中，，

在Rt△和Rt△中，，

∴Rt△～Rt△.                      …………………………11分

∴.

∴.          …………………………12分

在Rt△中， . ……………………13分

∴二面角的正切值为.           …………………………14分

解法2：设，连接，

∵，

∴△为等边三角形.

∴，，，.………………………5分

在R t△中，，

在△中，，

∴.                                  …………………………6分

∵，，平面，平面，

∴平面.                           …………………………7分

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.…………8分

∴，.

设平面的法向量为，

由，，得……9分

令，得，.

∴平面的一个法向量为.     …………………………10分

由（1）知平面的一个法向量为， ……………………11分

设二面角的平面角为，

则.………………………12分

∴，.………………………13分

∴二面角的正切值为.           …………………………14分

考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系.

20.【考点】： 二次函数的性质；函数恒成立问题．

【专题】： 函数的性质及应用．

【分析】： （Ⅰ）根据题意可假设f（x）=a（x﹣1）²．（a＜0），令a（x﹣1）²=﹣2，x=1，求解即可得出解析式．

（Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1≤x，又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，转化为令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2单调递减，

所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小实数为﹣9．

解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函数f（x）的对称轴为x=1，

由f（x）的最大值为0，可假设f（x）=a（x﹣1）²．（a＜0）

令a（x﹣1）²=﹣2，x=1，则易知2=4，a=﹣．

所以，f（x）=﹣（x﹣1）²．

（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，（x﹣1+t）²≥2x，即x²+2（t+1）x+（t﹣1）²≤0，

解得﹣t﹣1≤x，

又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，

可得由（2）得0≤t≤4．

令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2单调递减，

所以，g（t）≥g（4）=﹣9，

由于只需存在实数，故n≥﹣9，则n能取到的最小实数为﹣9．

此时，存在实数t=4，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

【点评】： 本题考查了函数的解析式的求解，方程组求解问题，分类讨论求解，属于中档题．

21.

22.【考点】： 椭圆的简单性质．

【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】： （Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；

（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

（Ⅰ）由得4x²+2x+1﹣a=0，

则x₁+x₂=，x₁x₂=，

则|AB|==，解得a=2．

（Ⅱ）由，得（3+k²）x²+2kx+1﹣a=0，

则x₁+x₂=﹣，x₁x₂=，

由=2得（﹣x₁，1﹣y₁）=2（x₂，y₂﹣1），

解得x₁=﹣2x₂，代入上式得：

x₁+x₂=﹣x₂=﹣，则x₂=，

==，

当且仅当k²=3时取等号，此时x₂=，x₁x₂=﹣2x₂²=﹣2×，

又x₁x₂==，

则=，解得a=5．

所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x²+y²=5．

【点评】： 本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．

23.