2015届海南省高三三模数学（理）试卷

海南省2015年高考模拟测试题

理科数学试题卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)

1、若为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是

A． 　 B. C． 　　 D．

2、能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两

部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是

A．B．C．D．

3、若函数的图象在处的切线与圆相切,则的最大值是

1. 4 B. C. 2 D.

4、设集合，，从集合中随机地取出一个元素，则的概率是

A．B．C．D．

5、在中，，边上的高分别为，则以为焦点，且过两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为

A.　1　 B.　 　 C. 2　　 D.

6、根据如图所示程序框图，若输入，，

则输出m的值为

A. 34 B. 37 C. 148 D.333

7、下列命题，正确的个数是

①直线是函数的一条对称轴

②将函数的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度变为函数的图像．

③设随机变量～，若，，则

④的二项展开式中含有项的二项式系数是210.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是

A. 点到平面的距离 B. 三棱锥的体积

C. 直线与平面所成的角 D.二面角的大小 9、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组

则的最大值等于

A．B．C．D．

10、已知函数和函数在区间上的图像交于两点，则的面积是

A.B.C.D.

11、已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，点为直线上的一点，且，则的值为

A．B．C．D．

12、设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是

A．，B．，

C．，D．，

第Ⅱ卷

二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13、在△中，，，，且△的面积为，则=_______

14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________

15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中的面积为__________.

16、若对于定义在R上的函数,其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”. 有下列关于 “—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一个“—伴随函数”；②不是“—伴随函数”；

③是一个“—伴随函数”；④“—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确的序号是_________（填上所有不正确的结论序号）．

三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，且，，

（1）求等差数列的通项公式.

（2）令，数列的前项和为.证明：对任意，都有

.

18. （本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求

出；若不存在，说明理由．

19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。

（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；

（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为，求的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点和抛物线的焦点相同.

（1）求椭圆的方程.

（2）如图，已知直线与椭圆及抛物线都有两个不同的公共点，且直线与椭圆交于两点；过焦点的直线与抛物线交于两点，记，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.

四、选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且，求证：

（1）；

（2）．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.

（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；

（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）若a=1，解不等式；

（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围.

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海南省2015年高考模拟测试题

数学理科卷参考答案

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	B	D	C	C	B	B	C	A	A	A	D

二、填空题

13、 14、0.25 15、 16、 ① ③

三、解答题

17、解：（1）.设等差数列的首项为，公差为，则由，得

，解得，所以……….6分

（2）.因为，所以，则=.

因为，所以. ……….12分

18、证明：（Ⅰ）取中点，连结，．因为，所以．

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．

所以平面． 所以 ．……4分

解：（Ⅱ）因为平面平面，且，

所以平面，所以． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以． 所以 ，平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为．…8分

（Ⅲ）存在点，且时，有// 平面． 证明如下：由 ，，所以．

设平面的法向量为，则有所以取，得．因为，且平面，所以// 平面． 即点满足时，有// 平面．…………12分

19、解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90，100]内的频率为，所以 利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.所以，估计这次考试的平均分是72分．由频率分布直方图可知，成绩分布在[70，80]间的频率最大，所以众数的估计值为区间[70，80]的中点值75分 ……………（6分）

（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

（2）由（1）知，成绩在[70，100]内的学生共有人，成绩在

[80，90）这一小组的人数有人.所以从这一小组中抽出的人数为

人，依题意知，，

，，，

，，，

所以的分布列为：

数学期望. …………..（12分）

20. 解：（1）椭圆的离心率，抛物线的焦点为，所以椭圆中的，，.所以椭圆的方程为. ……4分

（2）设，，，则

由消去可得（①），由解得或；

由消去可得，由

解得，所以。 …………………6分

由①可得，，

所以…………………8分

当的斜率不存在时，，此时，

当的斜率存在时，设的方程为，，由由消去可得，所以，，所以，…………………10分

则， 因为，所以，所以.…12分

21. 解：⑴令,得.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.(3分)

⑵由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.

因此所求的的取值范围是. (7分)

⑶结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：

.

构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)

对于求导得.

令，则，显然是减函数.

又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，

，.

所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值.

题目要找的，理由是：

当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；

当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小.

综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. (12分)

( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：

令，即. 作出基本函数和的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ）

22. （Ⅰ）证明：连接，在中，又∽，则………5分

(Ⅱ)在中， ， 又四点共圆；，又是⊙的直径，则，……10分

23.解：对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线 是抛物线的一部分； 对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. (2分)

(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得，求得. 综合可求得的取值范围是：或. （6分）

(2)当时，直线N:，设M上点为，，则

，

当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. (10分)

24.解：（Ⅰ）时，.

当时，可化为，解之得；

当时，可化为，解之得.

综上可得，原不等式的解集为……………………………………5分

（Ⅱ）

函数有最小值的充要条件为即……………………10分