2015海南省高考压轴卷数学（理）

2015海南高考压轴卷

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 合（其中i为虚数单位），，且，则实数的值为

（ ）

A.3 B. 1 C. 2 D.

2.正弦曲线在点的切线方程是（ ）

1. B.

C.D.

3.若向量,又的夹角为锐角,则实数的取值范围为( )

1. B.C.D.

4.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，离心率为，则其渐进线方程为（ ）

1. B.C.D.
   5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）
   A.4 B.2
   C.D.
   6. 已知表示平面，表示直线，给出下列四个命题：
   ①若∥，则∥②若，则
   ③若∥，则∥④∥，∥，，则
   其中错误的命题个数为（ ）
   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
   7.已知直线与圆交于、两点，是坐标原点，向量、满足条件，则实数的值为（ ）
   1. B.C.D.

8.现有下列命题:①命题“”的否定是“”；②若，，则；③直线与互相垂直的条件为；④如果抛物线的准线方程为，则.其中正确的命题的序号为（ ）

A.②④ B.①② C.③④ D.②③

9.已知递增数列各项均是正整数，且满足，则的值为（ ）

A.2 B.6 C. 8 D.9

10.设函数(,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线对称；②它的图象关于点（对称；③它的周期是；④在区间上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）

A.①③②④或②③①④ B.①③②④ C. ②③①④ D.①④②③

11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

A.1、0.、0.8 B.0.6、0.8、1 C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.8

12. “已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式.”给出如下的一种解法：

解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.

参考上述解法：若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、（本大题共4小题，每小题5分）

13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是 .

14. 已知是不等式组表示的平面区域，是不等式组表示的平面区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为_________.

15.抛物线与直线围成的平面图形的面积为 .

16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现 次.

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间，，，，进行分组，得到频率分布直方图如下图：

（1）求直方图中的值；

（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；

（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.

18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是矩形，，，，点是的中点，点在上移动.

（1）求三棱锥的体积；

（2）当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；

（3）求证：.

19.（本小题满分12分）

设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程；

（3）设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．

20.已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，

（1）若，

（i）求数列的前项和；

（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前项和为，求的值

（2）若存在使得成等比数列，求证：为奇数.

21.（本小题满分12分）设函数（），．

（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和

都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，

试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且.

（1）求证：；

（2）求证：.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两

点.

（1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）求弦的长度.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数．

（１）当时，求函数的定义域；

（２）若函数的定义域为，试求的取值范围．

2015海南高考压轴卷

理科数学答案

一、选择题

1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7. C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B

解析：

1.，则中的复数必须为实数，所以.

2,则,即切线方程为,整理得.故选B.

3.,则,又不共线,所以,则且,所以实数的取值范围为.故选A.

4.因为，所以，而焦点在轴上的双曲线的渐进线方程为，所以该双曲线的渐进线方程为.故选B.

5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为，所以左视图的面积为.故选C.

6.只有③是正确的.①若∥，则∥ 或异面； ②若，则或相交或异面；④∥，∥，，则或∥.所以只有一个正确的，故选C.故选C.

7.由两边平方，得，所以，则为等腰直角三角形，而圆的半径，则原点到直线的的距离为1，所以，即的值为或.

8.①命题的否定为：“”；②；③由，得或；④抛物线的标准方程为，由准线方程为，可得，即.故选A.

9. 若，则，与矛盾，若，则，而，所以与数列递增矛盾，于是，得，

，，而，所以.故选C.

10.由函数的周期是，可知这

（1）若的图像关于直线对称，则.

当，且时，；当时，（），与矛盾.因此.这时.

由可知的图象关于点对称；由，得，可知在上是增函数.综上可知：①③②④是正确的命题.

（2）若的图象关于点对称，则，又由知，这时.

由可知，直线是的对称轴；由（1）可知，在上是增函数.综上可知：②③①④.故选A.

11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为，则有

整理得（万元）.

当且仅当时等号成立，解得，所以.

由于为增函数，即此时也恰有最大值.

故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C.

12. 由的解集为，得的解集为，即的解集为.故选B.

二、填空题

13.14.15.16.6

解析：

13.若，则，不合题意；当时，得.

14.区域（不含边界）的面积为，区域（不含边界）的面积为，故点落入区域的概率为.

15.由得抛物线与直线的交点为.

所以

.

16. 第行第列的数记为，那么每一组与的解就是表中的一个数.

因为第一行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，所以.

所以第列数组成的数列是以为首项，公差为饿等差数列，

所以.

令，即，故表中2010出现6次.

三、解答题

17. 解：（1）由图可知，，解得.

（2）；

（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为.

则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为.

18.解：（1），所以.

（2）当点为的中点时，∥平面，

理由如下：因为点分别为、的中点，所以∥.

又因为，，所以∥平面.

（3）因为，，所以.

又，所以.

因为，所以.

又，所以.

因，点是的中点，所以.

又，所以，

又，所以.

19.解：⑴由条件可知，

因为，所以得：.

（2）由⑴可知，，所以，，从而.

半径为，因为，所以，可得：到直线距离为，

从而求出，所以椭圆方程为：.

（3）因为点在椭圆内部，所以，

设椭圆上任意一点为，则.

由条件可以整理得：，对任意恒成立，

所以有：或者

解之得：.

20. （1）因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，

所以，整理得，

又，所以，

，，

所以，

①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为；

② 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，

所以.

所以．

⑵ 由，整理得，

因为，所以，所以.

因为存在m＞k,m∈N^*使得成等比数列，

所以，

又在正项等差数列{a_n}中，，

所以，又因为，

所以有，

因为是偶数，所以也是偶数，

即为偶数，所以k为奇数.

21. （1）解法一：设函数图象上任意一点为，则点到直线的距离为，当，即时，

，由，解得，或，

又因为抛物线与直线相离，由得，

故，即，所以，即．

解法二：因为，所以，令，

得，此时，则点到直线的距离为，

即，解之得，或．

（以下同解法一）

（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间内，

所以解之得，故所求的取值范围为．

解法二：恰有三个整数解，故，即，

因为，

所以，又因为，

所以，解之得．

（3）设，则．

所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点．

设与存在 “分界线”，方程为，即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以恒成立，因此．

下面证明恒成立．

设，则．

所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：．

选做题：

22.证明：（1）因为，所以，又因为是公共角，

所以∽，所以.

因为，所以，所以.

（2）由（1）知，，又，所以∽，所以，

即.

因为为相交弦，所以，故.

23. 解：（1）曲线：（）表示直线．曲线：，，

所以，即．

（2）圆心（3，0）到直线的距离，，所以弦长=．

24. （1）由题设知：，

如图，在同一坐标系中作出函数和的

图象（如图所示）,知定义域为.

（2）由题设知，当时，恒有，

即， 又由（1），∴．