2015海南省高考压轴卷数学（文）

2015海南高考压轴卷

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合，，若，则实数的值为（ ）

A.2 B.C.D.

2.正弦曲线在点的切线方程是（ ）

1. B.

C.D.

3.若向量,又的夹角为锐角,则实数的取值范围为( )

1. B.C.D.
   4.已知是虚数单位，，且是纯虚数，则的值为（ ）
   1. B.C.D.

5.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）

A.B.C.D.

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）

A.4 B.2

C.D.

7. 已知表示平面，表示直线，给出下列四个命题：

①若∥，则∥②若，则

③若∥，则∥④∥，∥，，则

其中错误的命题个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.现有下列命题:①命题“”的否定是“”；②若，，则；③直线与互相垂直的条件为；④如果抛物线的准线方程为，则.其中正确的命题的序号为（ ）

A.②④ B.①② C.③④ D.②③

9.已知递增数列各项均是正整数，且满足，则的值为（ ）

A.2 B.6 C. 8 D.9

10.设函数(,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线对称；②它的图象关于点（对称；③它的周期是；④在区间上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）

A.①③②④或②③①④ B.①③②④ C. ②③①④ D.①④②③

11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

A.1、0.、0.8 B.0.6、0.8、1 C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.8

12. “已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式.”给出如下的一种解法：

解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.

参考上述解法：若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、（本大题共4小题，每小题5分）

13.已知函数是奇函数,则实数.

14. 已知一流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b值为，则循环体的判断框内①处应填 ．

15.设函数若，则实数的取值范围是 .

16.如图放置的等腰直角三角形薄片（）沿着轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则在其相邻两个零点间的图象与轴所围成的区域的面积为 .

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号	分组	频数	频率
第1组		5	0.050
第2组		①	0.350
第3组		30	②
第4组		20	0.200
第5组		10	0.100[
合计		100	1.00

18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是矩形，，，，点是的中点，点在上移动.

（1）求三棱锥的体积；

（2）当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；

（3）求证：.

19.（本小题满分12分）已知单调递减的等比数列满足是等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若的前n项和S_n.

20.（本小题满分12分）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，点在椭圆上，且，，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过圆的圆心交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程；

（3）若以椭圆的长轴为直径作圆，为该圆上异于长轴端点的任意点，再过原点作直线的垂线交椭圆的右准线交于点，试判断直线与圆的位置关系，并给出证明．

21.（本小题满分12分）设函数（），．

（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和

都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，

试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，是⊙的直径，为圆上一点，，垂足为，点为⊙上任一点，交于点，交于点．

求证：（1）；

（2）．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两

点.

（1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）求弦的长度.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数．

（１）当时，求函数的定义域；

（２）若函数的定义域为，试求的取值范围．

2015海南高考压轴卷

文科数学答案

一、选择题

1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B

解析：

1.，所以，即.故选C.

2.,则,即切线方程为,整理得.故选B.

3.,则,又不共线,所以,则且,所以实数的取值范围为.故选A.

4.因为是纯虚数，所以.故.故选A.

5.由题意，设双曲线的方程为.渐进线方程变形为，所以，即，即.所以.故选B.

6. 由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为，所以左视图的面积为.故选C.

7. 只有③是正确的.①若∥，则∥ 或异面； ②若，则或相交或异面；④∥，∥，，则或∥.所以只有一个正确的，故选C.故选C.

8.①命题的否定为：“”；②；③由，得或；④抛物线的标准方程为，由准线方程为，可得，即.故选A.

9. 若，则，与矛盾，若，则，而，所以与数列递增矛盾，于是，得，

，，而，所以.故选C.

10.由函数的周期是，可知这

（1）若的图像关于直线对称，则.

当，且时，；当时，（），与矛盾.因此.这时.

由可知的图象关于点对称；由，得，可知在上是增函数.综上可知：①③②④是正确的命题.

（2）若的图象关于点对称，则，又由知，这时.

由可知，直线是的对称轴；由（1）可知，在上是增函数.综上可知：②③①④.故选A.

11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为，则有

整理得（万元）.

当且仅当时等号成立，解得，所以.

由于为增函数，即此时也恰有最大值.

故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C.

12. 由的解集为，得的解集为，即的解集为.故选B.

二、填空题

13. 14.3 15.16.

解析：

13.因为,所以,即,解得.

14.时进入循环此时=2¹=2，=2时再进入循环此时=2²=4，=3时再进入循环此时=2⁴=16，所以=4时应跳出循环，即循环满足的条件为，故填3.

15. 当时,,解得;当时,,解得,即不等式的解集是.

16.作出点的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示，其轨迹为两段圆弧，一段是以为圆心，为半径的四分之一圆弧；一段为以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧.其中与轴围成的面积为.

三、解答题

17. 解：（1）由题可知，第2组的频数为人,

第3组的频率为,频率分布直方图如右图所示.

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:人；第4组:人；

第5组:人.

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.

（3）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下:，，，，，

其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有:

9种可能.

所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为.

18.解：（1），所以.

（2）当点为的中点时，∥平面，

理由如下：因为点分别为、的中点，所以∥.

又因为，，所以∥平面.

（3）因为，，所以.

又，所以.

因为，所以.

又，所以.

因，点是的中点，所以.

又，所以，

又，所以.

19. 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则

②

①

由②×7－①得：

所以

因为等比数列{a_n}为递减数列，

所以，即

（2），

因为

所以（.

20. 解：(1)设，因为点P在椭圆C上，所以，

在直角中，故椭圆的半焦距

从而， 所以椭圆的方程为.

（2）设、的坐标分别为、由圆的方程为,所以圆心的坐标为（－2，1）从而可设直线的方程为,代入椭圆的方程得

因为A，B关于点M对称.所以解得，所以直线l的方程为即.(经检验，符合题意) .

（3）直线与圆相切．证明如下：易得椭圆右焦点为，右准线为．设点，则有，又，∴直线的方程为，令，得，即，

所以，又，于是有，故，∴直线与圆相切．

21. （1）解法一：设函数图象上任意一点为，则点到直线的距离为，当，即时，

，由，解得，或，

又因为抛物线与直线相离，由得，

故，即，所以，即．

解法二：因为，所以，令，

得，此时，则点到直线的距离为，

即，解之得，或．

（以下同解法一）

（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间内，

所以解之得，故所求的取值范围为．

解法二：恰有三个整数解，故，即，

因为，

所以，又因为，

所以，解之得．

（3）设，则．

所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点．

设与存在 “分界线”，方程为，即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以恒成立，因此．

下面证明恒成立．

设，则．

所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：．

选做题：

22.证明：（1）因为，所以，

所以∽，所以.

（2）延长与⊙交于点，由相交弦定理，

得，且.

所以，由（1），得.

23. 解：（1）曲线：（）表示直线．曲线：，，

所以，即．

（2）圆心（3，0）到直线的距离，，所以弦长=．

24. （1）由题设知：，

如图，在同一坐标系中作出函数和的

图象（如图所示）,知定义域为.

（2）由题设知，当时，恒有，

即， 又由（1），∴．