上海市徐汇区2015届高三4月学习能力诊断（二模）数学（理）试卷

2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（理科）

2015.4

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．已知集合，集合，则．

2．若复数为虚数单位），则．

3．已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ．

4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取名学生进行体能测试．现将名学生从到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取个数的结果是抽到了，则在编号为的这个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ．

5．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为 ．

6．设函数，则不等式的解为 ．

7．直线与曲线(为参数，)的交点坐标是 ．

8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为 ．

9．矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第列各元素之和为，则．

10．如图所示：在直三棱柱中，，,则平面与平面所成的二面角的大小为 ．

11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为，二项式的展开式中项的系数为，则常数．

12．设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为 ．

13．所在平面上一点满足，若的面积

为，则的面积为 ．

14．对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．下列不等式中，与不等式同解的是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

16．设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么（ ）

（A）是必然事件 （B）是必然事件

（C）与一定为互斥事件 （D）与一定不为互斥事件

17．在极坐标系中，与曲线关于直线()对称的曲线的极坐标方程是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

18．已知函数，各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：

1. 存在不少于3项的数列，使得；
2. 若数列的通项公式为，则对恒成立；
3. 若数列是等差数列，则对恒成立．

其中真命题的序号是（ ）

（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1) (2)(3)

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．

（1）求该圆锥的全面积；

（2）求异面直线与所成角的大小．

（结果用反三角函数值表示）

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

一个随机变量的概率分布律如下：

其中为锐角三角形的三个内角．

（1）求的值；

（2）若，，求数学期望的取值范围．

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为．已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米．

（1）求横梁的长度;

（2）求梯形外框的用料长度．

（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数，．

（1）求函数的零点；

（2）若直线与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：；

（3）求函数的最小值．

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．

（1）设()，若是向量组的“向量”，

求实数的取值范围；

（2）若()，向量组是否存在“向量”？

给出你的结论并说明理由；

（3）已知均是向量组的“向量”，其中，

．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与()关于点对称，求的最小值．

理科参考答案

1. 填空题：（每题4分）

1. 2.3.4.5.

6.7.8.9.

10.11.12.13.14.

1. 选择题：（每题5分）
   15. D 16. A 17. C 18. D
2. 解答题

19、解：（1）在中，，即圆锥底面半径为2

圆锥的侧面积……………….. 4’

故圆锥的全面积……………….6’

（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．

则

………………..8’

设与所成角为

则………………..10’

异面直线与所成角为………………..12’

解法二：过作交于，连

则为异面直线与所成角………………..8’

在中，

是的中点是的中点

在中，，………………..10’

，即异面直线与所成角的大小为………………. 12’

20、解：（1）由题，………………..2’

则………………..4’

又为锐角，得………………..6’

（2）由

得，则，即………….. 8’

………………..9’

， ………………..11’

由为锐角三角形，得

则，

得………………..14’

21、解：（1）如图，以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系

设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为：

由题意，得，……….3’

取，

即

答：横梁的长度约为28cm………………..6’

（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点

设………………..7’

则，即…………..10’

得

梯形周长为

答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’

22、解：（1）由题，函数的零点为…………4’

（2）设

，则………………..8’

同理由，则

则中点与中点重合，即……………….. 10’

（3）由题

………………..12’

……………….14’

，当且仅当时，等号成立

所以函数的最小值为1………………..16’

23、解：(1)由题意，得：，则………………..2’

解得：………………..4’

(2)是向量组的“向量”，证明如下：

，

当为奇数时，………………..6’

，故………8’

即

当为偶数时，

故

即

综合得：是向量组的“向量”………………..10’ (3)由题意，得：，，即

即，同理，

三式相加并化简，得：

即，，所以………………..13’

设，由得：

设，则依题意得：，

得

故

所以……16’

当且仅当()时等号成立

故………………..18’