上海市静安、青浦、宝山区2015届高三下学期二模数学（理）试卷

静安、青浦、宝山区2015届高三第二学期教学质量检测（二模）

数学试卷（理科）2015.04.

（满分150分，考试时间120分钟）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知抛物线的准线方程是，则．

2．已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则此扇形的弧长为．

3．复数（为虚数单位）的模为 ．

4．函数的值域为 ．

5．若，则．

6．在的展开式中，的系数是 ．

7．方程的解集为 ．

8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为，则他得分的数学期望是 分．

9．过圆上一点的切线方程为 ．

10．在极坐标系中，点P(2，)到直线的距离等于 ．

11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．

12．设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是 ．

13．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则．

14．已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

16.已知偶函数的定义域为，则下列函数中为奇函数的是（ ）

（A）（B）（C）（D）

17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）

（A）①是循环变量初始化，循环就要开始

（B）②为循环体

（C）③是判断是否继续循环的终止条件

（D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.

18.定义：最高次项的系数为1的多项式（）的其余系数均是整数，则方程的根叫代数整数．

下列各数不是代数整数的是（ ）

（A）（B）（C）（D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．

如图，在直三棱柱中，已知，⊥．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求二面角的大小．

20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数满足关系，其中是常数.

（1）若，且，求的解析式，并写出的递增区间；

（2）设，若的最小值为6，求常数的值．

21.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某公园有个池塘，其形状为直角，，的长为2百米，的长为1百米．

（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点，如图(1)，使得，，在内喂食，求当的面积取最大值时的长；

（2）若准备建造一个荷塘，分别在、、上取点，如图(2)，建造连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使为正三角形，记，求边长的最小值及此时的值．(精确到1米和0.1度)

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．

在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不 重合的点．

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△面积取最小值时，求直线的方程．

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.

（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；

（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；

（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．

参考答案及评分标准 2015.04

说明：

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．

4．给分或扣分均以1分为单位．

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．； 2．；

3．； 4．；

5．； 6． ；

7．（文）8.（文）；

（理）（理）；

9. （文）； 10． （文）；

（理） ； （理）；

11．； 12. ；

13. （文）； 14. .

（理）

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.；16. ； 17． ；18..

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.

19．解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为，，

从而， 因此. ………………………2分

该三棱柱的表面积为. ………4分

(2)由（1）可知

因为//.所以为异面直线与所成的角， ………8分

在Rt中，， 所以=.

异面直线与所成的角……………………………………………12分

解：（理科）(1)因为⊥，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高. ……………………………………2分

四棱锥的体积为…………………………4分

（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．

则A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），

B₁（0，0，2），C₁（0，2，2），…………………………………………………6分

设AC的中点为M，

是平面A₁C₁C的一个法向量．

设平面A₁B₁C的一个法向量是，…8分

令z=1，解得x=0，y=1．， …………………………………………9分

设法向量与的夹角为，二面角B₁—A₁C—C₁的大小为，显然为锐角．

………………………………………………12分

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

20.解：（1），；

………………………………………………………………4分

递增区间为，（）（注：开区间或半开区间均正确） ……………………………………………………………………………6分

（2）（文），当时，………8分

令，则函数在上递减………………10分

所以………………………12分

因而，当时，在上恒成立………………………14分

（理），………8分

…………………10分

解得 … ……………………………………………………………12分

所以………………………………………………………………14分

21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

21.解：(1)设，则，故，所以，……2分

，……………………………………………………4分

因为当且仅当时等号成立，

即．………………………………………………………6分

(2)在中，，设，，则

，，…………………………8分

所以

设，则，在中，，………………10分

又由于，所以………………………11分

化简得百米=65米………………………………13分

此时，,…………………………………………………14分

解法2：设等边三角形边长为，

在△中，，，…………………………………………8分

由题意可知，…………………………………………………………9分

则，所以，……………………………………11分

即，………………………………………………13分

此时，,…………………………………………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.

22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分

所以在双曲线中，，，，

因而双曲线方程为．……………………………………………………4分

（2）设，，则由题设知：，．

即………………………………………………………………5分

解得……………………………………………………………………7分

因为点在椭圆C上，所以，即…，

亦即．所以点M的轨迹方程为．…………………9分

（3）（文）因为AB所在直线方程为．

解方程组得，，

所以，.

又解得，，所以．………… 11分

由于……………14分

解得即

又，所以直线方程为或………………………………… 16分

（3）（理）（方法1）因为AB所在直线方程为．

解方程组得，，

所以，.

又解得，，所以．………… 11分

由于

……………………………………………14分

或，

当且仅当时等号成立，即k＝1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S_△AMB＝．………………………………………… 15分

AB所在直线方程为． ………………………………………………… 16分

（方法2）设，则，

因为点A在椭圆上，所以，即（i）

又（ii）

（i）+（ii）得，………………………………………………11分

所以.……………………………14分

当且仅当（即）时，. 又

AB所在直线方程为．………………………………………………… 16分

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

23.解：（1）不是封闭数列，因为，…………………………………… 1分

对任意的，有，…………………………………… 2分

若存在，使得，即，，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分

（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使，…… 6分

下面证明整数．

对，若，则取，对，存在使，

即，，所以，矛盾，

故存在整数，使．…………………………………… 8分

（充分性）若存在整数，使，则，

对任意，因为，

所以是封闭数列. …………………………………… 10分

（3）由于，所以，……………11分

因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，

若，则，此时不存在．所以没有意义…12分

若，则，所以，………………… 13分

若，则，于是，

所以，…………………………………… 16分

若，则，于是，

所以，…………………………………… 17分

综上讨论可知：，，该数列是封闭数列．……… 18分