上海市静安区2017届高三下学期质量调研（二模）数学试卷

上海市静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测

高三数学试卷 2017.04

本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．已知集合，，则________．

2．若实数，满足约束条件则的最大值等于________．

3．已知展开式 中的系数为84，则正实数的值为 .

4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．

5．设为R上的奇函数．当时，(为常数)，则的值为________．

6．设分别为直线（为参数）和曲线：（为参数）的点，则的最小值为 ．

7．各项均不为零的数列的前项和为． 对任意，

都是直线的法向量．若存在，则实数的取值范围是________．

8．已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的余弦值是________．

9．设，若对于任意的，都有，则的取值范围是________．

10．若适合不等式的的最大值为3，则实数的值为_______．

11．已知，数列满足，对于任意都满足，且，若，则的值为_________．

二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

12．已知则“”是“”的（ ）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

13．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）．

A．B．－1C．1D．－

14．当时，方程的根的个数是（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

15．曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）．

（1）曲线一定经过原点；

（2）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；

（3）的面积不大于8；

（4）曲线在一个面积为60的矩形范围内．

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周．

（1）求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；

（2）设逆时针旋转至，旋转角为，且满足，求．

17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

设函数．

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设、、为的三个内角，若，，求．

18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．

（1）求前8个月的累计生产净收入的值；

（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．

19．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）

设点、是平面上左、右两个不同的定点，，动点满足：

．

（1）求证：动点的轨迹为椭圆；

（2）抛物线满足：①顶点在椭圆的中心；②焦点与椭圆的右焦点重合．

设抛物线与椭圆的一个交点为．问：是否存在正实数，使得的边长为连续自然数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）

已知等差数列的前项和为，，为整数，且对任意都有．

（1）求的通项公式；

（2）设，（），求的前项和；

（3）在（2）的条件下，若数列满足．是否存在实数，使得数列是单调递增数列．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测

高三数学试卷评分标准与答案

一、1．； 2．12； 3．2；

4．； 5．6．；

7．； 8．； 9．

10．8； 11．．

二、12．A； 13．C； 14．C； 15．B．

三、16．解：（1）;﹒﹒﹒3分

﹒﹒3分

（2）如图建立空间直角坐标系，得

，，

由三角比定义，得﹒﹒﹒﹒1分

则，，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

，得，， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

所以，．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

16．解：（1）因为

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分

$来&源：， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

所以，函数的最大值为，最小正周期． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

（2）由，得，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

解得，或（舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

因此，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

18．解：（1）据题意，解得，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

第5个月的净收入为万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

所以，万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

（2）

即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

要想投资开始见效，必须且只需

即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

当时，

即不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

当时，即，﹒﹒﹒﹒2分

验算得，时，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

19．解：（1）若点构成三角形则

，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

整理得，即．1分

若点不构成三角形，也满足．1分

所以动点的轨迹为椭圆．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

（2）动点的轨迹方程为． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

抛物线的焦点坐标为与椭圆的右焦点重合．

假设存在实数，使得的边长为连续自然数．

因为，

不妨设|，． ﹒﹒﹒﹒﹒2分

由抛物线的定义可知，解得，﹒﹒﹒﹒﹒1分

设点的坐标为，

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

整理得，解得或．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

所以存在实数，使得的边长为连续自然数．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

20．解：（1）设的公差为，由题意得，﹒ ﹒﹒﹒2分

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

（2）当为偶数时，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

① 当为奇数时，

．

当时也符合上式． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

② 当为偶数时，﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

（3）

由题意得，对任意都成立，

1. 当为奇数时，，
   当时，，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
2. 当为偶数时，，

当2时，，．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

综上：．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分