内蒙古北重三中2018届高三第九次调研考试数学（理）

北重三中2017-2018学年度第二学期

高三年级第九次调研理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，B=，则=（ ）
   
2. 若，其中为虚数单位，则（ ）

1. B.C.D.

3.如图是某三棱锥的正视图与俯视图，已知网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）

4.据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）

1. B.C.C.0.19

1. 某校高一年级进行研究性学习，得出五个百货商场今年6月份的销售情况统计图，如图，下列陈述正确的是（ ）

①这五个商场中销售额与去年同期相比增长率排序居同一位的只有1个；

②与去年6月份相比，这五个商场的销售额均在增长；

③与去年6月份相比，A的增长率最大，所以A的销售额增量也最大；

④去年6月份C比D的销售额大.

1. ①② B.①②④ C.②③④ D.①③④

6.已知函数，则下列说法错误的是（ ）

1. B.

C.函数是偶函数 D.

7.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆的方程为（   ）

1. B.

C.    D.

8.如图，函数（其中）的图像与坐标轴的三个交点分别为，若为线段QR的中点，则A的值为（ ）

1. B.C.D.

9.下图是用秦九韶算法求时多项式的值的程序框图，其中是按的降幂排列的多项式各项系数，则输出的值是（ ）

A.32 B. 22 C. 11 D.6

10.在区间[2,4]和[1,5]上分别随机取一个数，记为，则双曲线的离心率的概率为（ ）

1. B.C.D.

1. 已知平面过正方体的顶点B，D，且平面平面，设平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

1. B.C. D. 0

1. 定义在R上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是( ）

1. B.[1,2] C.(1,2) D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量满足，在方向上的投影为，则

14.已知的展开式的常数项为10，则__________.

15.已知抛物线，点A，B在抛物线上，弦AB的中点为M(2,1),则(为坐标原点)的面积为_________.

16.如图，在中，，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则的面积的最大值为___________.

三、简答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（本小题满分12分）数列为递增的等比数列，，数列满足

．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列满足，且数列的前项和，并求使得对任意都成立的正整数的最小值.

18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，过作平面平行于，交AB于点D.

1. 求证：点D为AB的中点；
2. 若四边形是边长为2的正方形，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）某瑜伽俱乐部为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按50元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：

消费次第	第1次	第2次	第3次	第4次及以后
收费比例	1	0.95	0.90	0.85

该俱乐部从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：

消费次数	1次	2次	3次	4次
频数	60	20	10	10

假设该俱乐部一次瑜伽的成本为20元，根据所给数据，解答下列问题：

1. 估计该俱乐部一位会员至少消费两次的概率；
2. 某会员消费三次，求三次消费中，该俱乐部获得的平均利润；
3. 假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该俱乐部的会员中随机抽取2位，记俱乐部从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为，求的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为,，线段,的中点分别为,，且是面积为4的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.

21.（本小题满分12分）已知函数，且函数的图像在点处的切线的斜率为.

（1）求的值，并讨论函数的极值；

（2）若，证明：对任意的.

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）将的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知直线的参数方程为，直线与曲线交于A点，直线与曲线交于B点（A，B非原点O），求.

23.（本小题满分10分）已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设，当时，成立，求实数的取值范围.

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九调理科数学参考答案

1-5BBCAB，6-10ADCBC，11-12AD

1. 34

14.

15.

16.

17..解：（1）数列为递增的等比数列，则其公比为正数，又，当且仅当时成立。此时公比，所以---2分

所以是首项为，公差为2的等差数列．             ----5分

（2），所以．      

，

          ---------------8分

，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．∴当n=1时，T_n取得最小值，…10分

要使得对任意n∈N^*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，

，故正整数m的最小值为4.         ------12分

18.

20.

1. 设所求椭圆的标准方程为，右焦点为.

因是直角三角形，又,故为直角，因此,得.

又得，故，所以离心率.

在中，，故

由题设条件，得，从而.

因此所求椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得，

设，则

,

又，所以

 

由,得,即，解得，

所以直线方程分别为和.

21.