北京市东城区2015届高三第二次模拟数学（文）试卷

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学（文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为

（A）（B）

（C）（D）

（2）若复数为纯虚数，则实数的值为

（A）（B）

（C）（D）

（3）已知圆的方程为，那么圆心坐标为

（A）（B）（C）（D）

（4）设点,则“且”是“点在直线上”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（5）设，，,则，，的大小关系是C

（A）（B）

（C）（D）

（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于

（A）（B）

（C）（D）

（7）若实数，满足不等式组则的最大值为

（A）（B）

（C）（D）

（8）已知正方体的棱长为,，分别是边，的中点,点是上的动点,过点，，的平面与棱交于点,设,平行四边形的面积为,设,则关于的函数的解析式为

（A），

（B）

（C）

（D），

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知抛物线上一点，则，点到抛物线的焦点的距离为 .

（10）在△中，已知， 那么.

（11）函数的最大值为 .

（12）若非零向量，满足，则向量与的夹角为 .

（13）设函数，的两个的零点为，，且方程有两个不同的实根，．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数．

（14）如图,△是边长为的正三角形,以为圆心,为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于，记弧的长为；以为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于，记弧的长为；以为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于，记弧的长为，则.

如此继续以为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于，记弧的长为，，当弧长时，.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心

角均为，边界忽略不计)即为中奖．

乙商场：从装有个白球和个红球的盒子中一次性摸出球(这些球除颜色外

完全相同)，如果摸到的是个红球，即为中奖．

试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.

（16）（本小题共13分）

已知函数，.

（Ⅰ）若，且，求的值；

（Ⅱ）若，求的最大值.

（17）（本小题共13分）

如图，在四棱锥中,平面平面，为上一点，四边形为矩形，

，,.

（Ⅰ）若，且∥平面,求的值；

（Ⅱ）求证：平面.

（18）（本小题共13分）

已知等比数列的前项和，且成等差数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．

（19）（本小题共14分）

已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线．

（20）（本小题共14分）

已知函数,，（，为常数）．

（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；

（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围．

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北京市东城区2014-2015学年第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A

（5）C （6）D （7）B （8）A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）

（11）（12）

（13）（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件，

试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为（为圆盘的半径)，阴影区域的面积为.

所以，. …………………………5分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件，记盒子中个白球为，，，个红球为，，，记为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共种.

摸到的个球都是红球有，，，共种.

所以，. …………………………11分

因为，

所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …………………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由

得

. …………………………4分

因为，即，所以.

又因为，所以.

故，即. …………………………7分

（Ⅱ）.

因为，所以.

所以当，即时，有最大值，最大值为. ………………13分

（17）（共13分）

证明：（Ⅰ）连接交于点，连接.

因为平面，平面平面，

所以.

因为，所以.

因为，所以.

所以. …………………………6分

（Ⅱ）因为

所以.

所以.

又平面平面，且平面平面,

平面，所以.

又,且,

所以平面. …………………………13分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）设的公比为，因为成等差数列，

所以.

整理得，即，解得.

又，解得.

所以. …………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得,

所以.

. …………………………10分

所以由，得，

整理得，

解得.

故满足的最大正整数为. …………………………13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由已知可得，，又，

解得.

故所求椭圆的方程为．…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.设，，

所以.

因为在椭圆上，

所以，即.

所以.

又因为，

所以. （1）

由已知点在圆上，为圆的直径，

所以.

所以. （2）

由(1)（2）可得．

因为直线，有共同点，

所以，，三点共线． …………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）设在处的切线方程为，

因为，

所以，故切线方程为.

当时，，将代入，

得． …………………………3分

（Ⅱ），

由题意得方程有唯一解，

即方程有唯一解．

令，则，

所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.

又，

故实数的取值范围是． …………………………8分

（Ⅲ）

所以.

因为存在极值，所以在上有根，

即方程在上有根，则有.

显然当时，无极值，不合题意；

所以方程必有两个不等正根．

记方程的两根为，则

,

解得，满足.

又，即，

故所求的取值范围是． …………………………14分