北京市东城区2015届高三第二次模拟数学（理）试卷

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学

（理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）

（A）（B）

（C）（D）

（2）设，，，则，，的大小关系是

（A）（B）

（C）（D）

（3）已知为各项都是正数的等比数列，若，则

（A）（B）

（C）（D）

（4）甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有

（A），

（B），

（C），

（D），

（5）已知，是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）若实数满足不等式组则的取值范围是

（A）（B）

（C）（D）

（7）定义在上的函数满足.当时，,当时，，则

（A）（B）

（C）（D）

（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是

（A）（B）

（C）（D）

---

第二部分（非选择题 共110分）

1. 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是，则 ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

（10）已知正数满足，那么的最小值为 ．

（11）若直线为参数与曲线为参数，有且只有一个公共点，则．

（12）若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，则．

（13）已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是 ．

（14）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．

给出下列四个命题：

① 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．

② 若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个．

③ 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．

④ 若，则点的轨迹是一条过点的直线．

其中所有正确命题的序号为 ．

---

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域及其最大值；

（Ⅱ）求在上的单调递增区间．

（16）（本小题共13分）

某校高一年级开设，，，，五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率；

（Ⅱ）用表示甲、乙、丙选中课程的人数之和，求的分布列和数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，侧面侧面，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由．

---

（18）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；

（Ⅱ）求证：存在实数，有.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点．证明：．

（20）（本小题共14分）

已知数列的前项和为，且满足，，设，．

(Ⅰ)求证：数列是等比数列；

(Ⅱ)若，，求实数的最小值；

（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

---

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）B （4）B

（5）D （6）D （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）

（11）（12）

（13）（14）（1）（2）（3）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由，得．

所以的定义域为． …………………2分

因为，

， …………………6分

所以的最大值为． …………………7分

（Ⅱ）函数的单调递增区间为（）

由，，且，

所以在上的单调递增区间为． ……13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设事件为“甲同学选中课程”，事件为“乙同学选中课程”．

则，．

因为事件与相互独立，

所以甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率为

． …………………4分

（Ⅱ）设事件为“丙同学选中课程”．

则．

的可能取值为：．

．

．

．

．

为分布列为：

．………13分

（17）（共14分）

（Ⅰ）证明：连接与相交于，则为的中点，连接．

因为为的中点，

所以∥．

因为平面，平面，

所以∥平面． ………4分

（Ⅱ）证明：，，在△中，，．

因为，

所以．

因为侧面侧面，

侧面侧面，

平面，

所以平面． ………8分

（Ⅲ）解：两两互相垂直，建立空间直角坐标系．

假设在线段上存在一点，使二面角为．

平面的法向量，设．

．

所以，．

设平面的法向量为，则

所以

令，得，，

所以的法向量为．

因为，

所以，解得，故．

因此在线段上存在一点，使二面角为，

且. ………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当时，，.

因为，

由，.

则，，关系如下：

	↘	极小值	↗

所以当时，有最小值为. ………5分

（Ⅱ）“存在实数，有”等价于的最大值大于.

因为，

所以当时，，，在上单调递增，

所以的最大值为.

所以当时命题成立.

	↘	极小值	↗

当时，由得.

则时，，，关系如下：

（1）当时 ，，在上单调递减，

所以的最大值.

所以当时命题成立.

（2）当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以的最大值为或.

且与必有一成立，

所以当时命题成立.

（3） 当时 ，，

所以在上单调递增，

所以的最大值为.

所以当时命题成立.

综上：对任意实数都存在使成立. ……13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

由题意知解得，．

所以椭圆的标准方程为．……………………………5分

（Ⅱ）设直线的方程为：，则．

由得（*）．

设，，则，是方程（*）的两个根，

所以．

所以．

．

．

．

设直线的方程为：．

由得．

设，则，．

所以，．

所以． ……………13分

（20）（共14分）

解：(Ⅰ) 因为，，且，

所以是首项为，公比为等比数列．

所以． ………4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，

．

因为，

所以，且．

所以的最小值为． ………9分

（Ⅲ）由(Ⅰ)当时，

当时，，，

所以对正整数都有．

由，，(且)，只能是不小于3的奇数．

① 当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

② 当为奇数时，，

由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，

所以不成立，

此时没有“指数型和”． ………14分