天津市耀华中学2015届高三下学期第一次校模拟考试数学（文）试卷

天津市耀华中学2015届高三第一次校模拟考试

文科数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．

第I卷（选择题 共40分）

一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．

1．复数

（A）（B） （C）1 （D）

2．函数，则该函数为

（A）单调递减函数，奇函数（B）单调递增函数，偶函数

（C）单调递增函数，奇函数（D）单调递减函数，偶函数

3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是

（A）（B）（C）（D）

4．某程序框图如图所示，运行相应该程序，那么输出的的值是

（A）（B）

（C）（D）

5．若，，且，，则的值是（ ）

（A）（B）（C）或（D）或

6．已知是首项为1的等比数列，是数列的前项和，且，则数列的前5项和为

1. (B)(C)(D)

7．当直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

8.在中，、分别为、的中点．为上任一点，实数、满足．设、、、的面积分别为、、、，记，，，则当取最大值时，的值为

（A）（B）（C）（D）

第II卷（非选择题 共110分）

二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上．

9．已知集合，集合，则．

10.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

11．设函数，则满足的的

取值范围是 ．

12．如图所示，已知与⊙O相切，为切点，过点的割线

交圆于、两点，弦∥，、相交于点，

为上一点，且，若，，

，则的长为 ．

13．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，且与的离心率之积为，则双曲线的渐近线方程为 ．

14．已知集合，，

且，则实数的最小值为 ．

三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

设函数的最小正周期为.

(Ⅰ)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)已知、、分别内角、、的对边，满足,

求角的值，并求函数的值域.

16．(本小题满分13分)

已知一个科研小组有4位男组员和2位女组员，其中一位男组员和一位女组员不会英语，其他组员都会英语，现在要用抽签的方法从中选出两名组员组成一个科研攻关小组.

(Ⅰ)求组成攻关小组的成员是同性的概率；

(Ⅱ)求组成攻关小组的成员中有会英语的概率；

(Ⅲ)求组成攻关小组的成员中有会英语并且是异性的概率.

17．（本小题满分13分）

如图所示，平面．

(Ⅰ)求与平面所成角的大小；

(Ⅱ)求二面角的正切值；

(Ⅲ)若，求证：平面平面．

18．(本小题满分13分)

设数列的前项和为，满足．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设，，证明：；

（Ⅲ）设，，证明：．

19．(本小题满分14分)

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，与分别是该椭圆的左右焦点，离心率，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程；

（Ⅲ）若是椭圆经过原点的弦，且∥，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．

20．(本小题满分14分)

已知函数，，其中均为实数．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）设，，若对任意的，，

恒成立，求的最小值；

（Ⅲ）设，若对任意给定的，在区间上总存在，，

使得成立，求实数的取值范围．

文科数学参考答案

一．选择题：

二．填空题：9．； 10． ； 11．；

12．； 13．； 14．．

三．解答题：

15．解：（Ⅰ），

∵,∴∴，

∴的单调递增区间；

（Ⅱ），∴，

，

∴，，，

∵，∴，

∴函数的值域为．

16．解：4位男组员记为2位女组员记为则从6人中任选2人的所有可能有：

共15种，

（Ⅰ）所选的2人是同性的基本事件为共7种，∴组成攻关小组的成员是同性的概率为；

（Ⅱ）假设不会英语的是男组员和女组员则所选的2人中不会英语的基本事件为，

∴组成攻关小组的成员中有会英语的概率为；

（Ⅲ）所选的2人中有会英语并且是异性的基本事件为：

共7个，

∴组成攻关小组的成员中有会英语并且是异性的概率为．

17．解：（Ⅰ）（1）∵平面∴，

由得，

又则平面，∴为直线与平面所成的角，

令则得，

由平面∴，

在中，由得即直线和面所成的角为；

（Ⅱ）由平面平面得平面平面，

作于则平面作于连∴

则为二面角的平面角，

在中，，

∴得，

在中，得∴

即二面角的正切值为；

（Ⅲ）取中点中点连结

∴由已知∴，

∴，则四边形是平行四边形，

∴，可知平面∴平面，

又平面∴平面平面．

18．解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）

；

（Ⅲ）

＝

＝

，

＝

．

19．解：（Ⅰ）∵的焦点为，∴椭圆的一个顶点为，

∴，∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，

，

则，，

，

∵，∴，

∴直线的方程为，即，或，

当直线的斜率不存在时，，，

综上，直线的方程为，或；

（Ⅲ）当直线的斜率存在时，设，，

，

，，

，是定值；

当直线的斜率不存在时，，，是定值，

综上所述：为定值．

20．（Ⅰ），令，得，列表如下：

			
	↗	极大值	↘

∴当时，取得极大值，无极小值；

（Ⅱ）当时，时，，，

∵在恒成立，∴在上为增函数，

设，∵在上恒成立，

∴在上为增函数，

设，则等价于：

，即，

设，则在上为减函数，

∴在上恒成立，

∴恒成立，设，

∵，，

∴，∴，为减函数，

∴在上的最大值，

∴，∴的最小值为；

（Ⅲ）由（1）知在上的值域为，

∵，，

当时，在上为减函数，不合题意，

当时，，由题意知在上不单调，

所以，即， ①

此时在上递减，在上递增，

∴，即，解得， ②

由①②，得，

∵,∴成立，

下证存在，使得，

取，先证，即证， ③

设，则在时恒成立，

∴在时为增函数，∴，∴③成立，

再证，

∵，∴时，命题成立，

综上所述，的取值范围为．