天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查（三）数学（理）试卷

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）

数 学 试 卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考号填写密封线内相应位置。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，将答案填在题后的括号内。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件，互斥，那么 ·如果事件，相互独立，那么

·柱体的体积公式 ·锥体的体积公式 其中表示柱（锥）体的底面面积 表示柱（锥）体的高

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）复数（ ）

(B)

(C)

(D)

（2）已知命题:对任意，总有，:“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

(B)

(C)

(D)

（3）如图所示,程序框图的输出结果是（ ）

1. (B)

(C)(D)

（4）直线与曲线在第一象限内围成的封闭

图形的面积为( )

(A)(B)

(C)(D)

（5）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点,,为垂足，若直线斜率为,那么( )

(A)(B)(C)(D)

（6）如图中，已知点在边上，,，，，则的长为( )

(B)

(C)

(D)

（7）给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减函数的序号是( )

①②

(B)②③

(C)③④

(D)①④

（8）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是( )

(B)

(C)

(D)

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）

数 学 试 卷（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）已知某地区小学生3500人，初中生4500人，高中生2000人，近视情况如图所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为.

（10）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______.

（11）已知曲线的参数方程为（为参数）

在点处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为____________.

（12）如图，为⊙外一点，过点作⊙的两条切线，切点分别为，，过的中点作割线交⊙于，两点，若，，则________．

（13）设,分别是的边,上的点,,,

若(,为实数),则的值为________.

（14）设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为.

三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知向量,,,设函数.(Ⅰ) 求的最小正周期；(Ⅱ) 求在上的最大值和最小值.

（16）（本小题满分13分）

现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，在在四棱锥中，面，，，

，，为线段上的点.

（Ⅰ）证明：面；

（Ⅱ）若是的中点,求与面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若满足⊥面，求的值.

（18）（本小题满分13分）

椭圆:错误！未找到引用源。的离心率错误！未找到引用源。,.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图,,,是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线交轴于点直线交于点,设的斜率为,的斜率为,证明为定值.

（19）（本小题满分14分）

正项数列的前项和满足:.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令,数列的前项和为，

证明:对于任意的,都有.

（20）（本小题满分14分）

已知函数,,若曲线和曲线

都过点,且在点处有相同的切线

(Ⅰ)求,,,的值；

(Ⅱ)若时,,求的取值范围.

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河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）

数学试卷（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

（1）A	（2）D	（3）C	（4）D
（5）B	（6）C	（7）B	（8）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）,	（10）	（11）
（12）	（13）	（14）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解:=.所以的周期.…………7分（Ⅱ）解:当时，，由在上的图象可知

当，即时，取最小值，

当，即时，取最大值.…………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设事件为“张同学所取的3道题至少有一道乙类题”

则有为“张同学所取的3道题都是甲类题”

因为，所以…………5分

（Ⅱ）解：所有可能取的值为0,1,2,3.

,…………6分

,…………8分

,…………10分

…………11分

所以…………13分

（17）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明:由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于,

且

且，

所以,又因为；…4分

（Ⅱ）解：设,由（Ⅰ）知,连接,所以与面所成的角是,

由已知及（Ⅰ）知:,，所以

,

所以与面所成的角的正切值是；…………8分

（Ⅲ）解：由已知得到,

因为所以,

在中,，，，

设则

所以

所以，，所以.…………13分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解:由得所以再由得，，所以椭圆的方程为…………5分

（Ⅱ）因为，不为椭圆顶点，

则方程为（且）①

将①代入,解得

又直线的方程为②

①与②联立解得

由，，三点共线可角得

所以的分斜率为,则(定值)………13分

（19）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解:由,得.由于是正项数列,所以.于是时,.综上,数列的通项.………7分（Ⅱ）证明:由于.则.

（20）（本小题满分14分）

(Ⅰ)解：由已知得,,,,

而=,=,∴=4,=2,=2,=2；………4分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知,,,

设函数==(),

==,

有题设可得≥0,即,

令=0得,=,=-2,

(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,

∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,

(2)若,则=,

∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,

∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,

(3)若,则==<0,

∴当≥-2时,≤不可能恒成立,

综上所述,的取值范围为[1,].………14分