宁夏银川一中2018届高三下学期第一次模拟考试数学（理）

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z＝－2i (其中i为虚数单位)，则|z|＝

A．3B．3C．2D．2

2．设集合A＝{(x，y)|x²＋y²＝1}，B＝{(x，y)|y＝3^x}，则A∩B的子集的个数是

A．4B．3C．2D．1

3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为

A．B．C．D．

直观图△A′B′C′的面积为

A．a²B．a²

C．a²D．a²

5．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[，]内，

则输入的实数x的取值范围是

A．(－∞，－2]B．[－2，－1]

C．[－1,2]D．[2，＋∞)

6．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A．96B．80＋4π

C．96＋4(－1)πD．96＋4(2－1)π

7．上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲

博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博

物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的

方案有

A．种B．5⁴种

C．种D．5⁴种

8．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是

A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日

9．设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为

A．B．C．D．4

10．设F₁，F₂是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF₁|＝|PF₂|，则双曲线的离心率为

A．B．＋1C．D．＋1

11．在△ABC中，＝＝，则sinA：sinB：sinC＝

A．5 : 3 : 4 B．5 :4 :3 C．: :2 D． :2 :

12．若函数f(x)＝x³－3x在(a,6－a²)上有最小值，则实数a的取值范围是

A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－，－2]

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．若a＝log₄3，则2^a＋2^－a＝.

14．函数f(x)＝2sin²(＋x)－cos2x（≤x≤）的值域为.

15．已知圆x²＋y²＝4, B(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上动点，若PBQ=90⁰，则线段PQ中点的轨迹方程为.

16．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为.

三．解答

17．(本小题满分12分)

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，a＋2a_n＝4S_n＋3.

1. 求{a_n}的通项公式：
2. 设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和．

18．(本小题满分12分)

人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：

(1)在图中绘出频率分布直方图

（说明：将各个小矩形纵坐标标注

在相应小矩形边的最上面），并估算

该地区居民幸福感指数的平均值；

(2)若居民幸福感指数不小于6，

则认为其幸福．为了进一步了解居

民的幸福满意度，调查组又在该地

区随机抽取4对夫妻进行调查，用

X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人

都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，

∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝PA＝2，E，F分别为PB，

AD的中点.

1. 证明：AC⊥EF；
2. 求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程.

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－ax²＋(a－2)x.

1. 若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
2. 求函数y＝f(x)在[a²，a]上的最大值．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为(α为参数)，曲线C₂的参数方程为(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

1. 求曲线C₁和曲线C₂的极坐标方程；
2. 已知射线l₁：θ＝α(0<α<)，将射线l₁顺时针旋转得到射线l₂：θ＝α－，且射线l₁与曲线C₁交于O，P两点，射线l₂与曲线C₂交于O，Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

设不等式的解集为M，且

（1）证明：；

（2）比较与的大小，并说明理由.

一．选择

1．B解：z＝－2i＝－2i＝3－i－2i＝3－3i，则|z|＝3，故选B．

2．A解：∵集合A＝{(x，y)|x²＋y²＝1}，B＝{(x，y)|y＝3^x}∴x²＋y²＝1圆和指数函数y＝3^x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A₁、A₂则A∩B的子集应为∅，{A₁}，{A₂}，{A₁，A₂}共四种，故选A.

3．A解：设这女子每天分别织布a_n尺，则数列{a_n}是等比数列，公比q＝2．则＝5，解得a₁＝．∴a₃＝×2²＝.故选A．

4．D[解析]　如图①、②所示的平面图形和直观图．

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作

C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.∴S_{△A′B′C′}＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a².

5. B[解析]　该程序的作用是计算分段函数f(x)＝的函数值．又∵输出的函数值在区间[，]内，∴x∈[－2，－1]，故选B．

6. C解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2.∴几何体的平面部分面积为6×4²﹣π×2²＝96﹣4π.圆锥的侧面积为π×2×2＝4π.∴几何体的表面积为96﹣4π＋4π.故选C．

7．D[解析]因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C种情况，其余年级均有5种选择，所以共有5⁴种情况，根据乘法原理可得C×5⁴种情况，故选D．

8．C　[解析]　1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11号只能是丙去值班了．余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天，显然，6号只可能是丙去值班了．

9.D[解析]　不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0

的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，

∴4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6．

∴＋＝(＋)·＝(12＋＋)≥4，当且仅当＝，

即a＝，b＝1时，等号成立．∴＋的最小值为4，故选D．

10.D　[解析]　∵(＋)·＝0，∴(＋)·(－)＝0，∴²－²＝0，OP＝OF₂＝c＝OF₁，∴PF₁⊥PF₂，Rt△PF₁F₂中，∵|PF₁|＝|PF₂|，∴∠PF₁F₂＝30°.由双曲线的定义得PF₁－PF₂＝2a，∴PF₂＝，sin30°＝＝＝＝，∴2a＝c(－1)，∴＝＋1，故选D．

11. C[解析]　由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a²＋2c²－2b²＝3a²＋3b²－3c²＝6b²＋6c²－6a²＝k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值．解：△ABC中，∵＝＝，∴＝＝即＝＝，即·＝·＝bc，即2a²＋2c²－2b²＝3a²＋3b²－3c²＝6b²＋6c²－6a²，设2a²＋2c²－2b²＝3a²＋3b²－3c²＝6b²＋6c²－6a²＝k，求得a²＝5k，b²＝3k，c²＝4k，∴a＝k，b＝k，c＝＝2，∴由正弦定理可得a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝::2，故选C．

12．C　[解析]　f′(x)＝3x²－3＝0，解得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．因为函数f(x)在区间(a,6－a²)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a²)内，即实数a满足a<1<6－a²，且f(a)＝a³－3a≥f(1)＝－2.由a<1<6－a²，解得－<a<1.不等式a³－3a≥f(1)＝－2，所以a³－3a＋2≥0，所以a³－1－3(a－1)≥0，所以(a－1)(a²＋a－2)≥0，所以(a－1)²(a＋2)≥0，即a≥－2.故实数a的取值范围是[－2,1)．故选C.

二．填空

13．[解析]　原式＝2^log43＋2^－log43＝＋＝.

14..[解析]　依题意，f(x)＝1－cos2(＋x)－cos2x＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1.当≤x≤时，≤2x－≤，≤sin(2x－)≤1，此时f(x)的值是[2，3]

15.解。设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|²＝|ON|²＋|PN|²＝|ON|²＋|BN|²，所以x′²＋y′²＋(x′－1)²＋(y′－1)²＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x²＋y²－x－y－1＝0.

16.[解析]　设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(，)，当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，

三．解答

17．(本小题满分12分)

[解析]　(1)根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a_n}的通项公式：

10分

解：(1)由a＋2a_n＝4S_n＋3，可知a＋2a_n＋1＝4S_n＋1＋3

两式相减得a－a＋2(a_n＋1－a_n)＝4a_n＋1，2分

即2(a_n＋1＋a_n)＝a－a＝(a_n＋1＋a_n)(a_n＋1－a_n)，∵a_n＞0，∴a_n＋1－a_n＝2，

∵a＋2a₁＝4a₁＋3，∴a₁＝－1(舍)或a₁＝3，4分

则{a_n}是首项为3，公差d＝2的等差数列，

∴{a_n}的通项公式a_n＝3＋2(n－1)＝2n＋1：6分

(2)∵a_n＝2n＋1，∴b_n＝＝＝(－)，8分

∴数列{b_n}的前n项和

T_n＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝．12分

18.(本小题满分12分)

[解析]　(1)频率分布直方图如图所示．所求的平均值为0.01×2×1＋0.015×2×3＋0.2×2×5＋0.15×2×7＋0.125×2×9＝6.46.2分

5分

(2)男居民幸福的概率为＝0.5，

女居民幸福的概率为＝0.6，故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6＝0.3.

因此X的可能取值为0,1,2,3,4，且X～B(4,0.3)，

于是P(X＝k)＝C×0.3^k(1－0.3)^4－k(k＝0,1,2,3,4)，X的分布列为

∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2.12分

19.(本小题满分12分)

解：(1)易知AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

E(，0,1)，F(0,1,0)．从而＝(－，1，－1)，＝(t,1,0)，＝(－t,2,0)．

因为AC⊥BD，所以·＝－t²＋2＋0＝0.解得t＝或t＝－(舍去)．3分

于是＝(－，1，－1)，＝(，1,0)．

因为·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即AC⊥EF.5分

(2)由(1)知，＝(，1，－2)，＝(0,2，－2)．

设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则

令z＝，则n＝(1，，)．10分

设直线EF与平面PCD所成角为θ，

则sinθ＝|cos＜n，＞|＝.即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为.12分

20.(本小题满分12分)

解：（1）由，得，1分

再由，得，2分

由题意可知，.3分

解方程组，得a=2,b=1，所以椭圆的方程为.4分

(2)由（1）可知A（-2,0）.设B点的坐标为（x_1,,y₁）,直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y=k(x+2),5分

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去整理，得,6分

由得.

设线段AB的中点为M，则M的坐标为.8分

以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）.线段AB的垂直平分线为y轴，于是

9分

（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得10分

由

.

整理得，.11分

综上.12分.

21.(本小题满分12分)

[解析]　(1)因为f(x)＝lnx－ax²＋(a－2)x，所以函数的定义域为(0，＋∞)．

所以f′(x)＝－2ax＋(a－2)＝＝.

因为f(x)在x＝1处取得极值，即f′(1)＝－(2－1)(a＋1)＝0，解得a＝－1.

当a＝－1时，在(，1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x) >0，

此时x＝1是函数f(x)的极小值点，所以a＝－1.

(2)因为a²<a，所以0<a<1，f′(x)＝－.

因为x∈(0，＋∞)，所以ax＋1>0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．

①当0<a≤时，f(x)在[a²，a]上单调递增，所以f(x)_max＝f(a)＝lna－a³＋a²－2a；

②当即<a<时，f(x)在(a²，)上单调递增，在(，a)上单调递减，

所以f(x)_max＝f()＝－ln2－＋＝－1－ln2；

③当≤a²，即≤a<1时，f(x)在[a²，a]上单调递减，所以f(x)_max＝f(a²)＝2lna－a⁵＋a³－2a².

综上所述，当0<a≤时，函数y＝f(x)在[a²，a]上的最大值是lna－a³＋a²－2a；

当<a<时，函数y＝f(x)在[a²，a]上的最大值是－1－ln2；

当≤a<1时，函数y＝f(x)在[a²，a]上的最大值是2lna－a⁵＋a³－2a².

二选一

22．(1)曲线C₁的直角坐标方程为(x－2)²＋y²＝41分

所以C₁的极坐标方程为ρ＝4cosθ2分

曲线C₂的直角坐标方程为x²＋(y－2)²＝4，3分

所以C₂的极坐标方程为ρ＝4sinθ.4分

(2)设点P的极坐标为(ρ₁，α)，5分

即ρ₁＝4cosα，点Q的极坐标为(ρ₂，(α－))，即ρ₂＝4sin(α－)，6分

则|OP|·|OQ|＝ρ₁ρ₂＝4cosα·4sin(α－)＝16cosα·(sinα－cosα)

＝8sin(2α－)－4.∵α∈(0，)，8分

∴2α－∈(－，)．当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取最大值4.10分

23.