2021浙江高考数学难不难
06月08日
2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试
高三年级数学(理)科试卷
答题时间:120分钟满分:150分
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.集合,,则( )
AB.C.D.
2.函数的定义域为( )
3.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1 B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=
4.已知函数(其中)的图象如右图所示,
则函数的图象是下图中的()
A B C D
5.若函数的导函数,则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是( )
A.[0,1]B.[3,5]C.[2,3]D.[2,4]
6.设若,则的值是( )
A.-1 B. 2 C. 1 D.-2
7.下面几个命题中,假命题是( )
A.“若,则”的否命题;
B.“,函数在定义域内单调递增”的否定;
C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”;
D.“”是“”的必要条件.
8.设均为正数,且,,,则( )
A..BC.D.
9.如图,目标函数仅在封闭区域内(包括
边界)的点处取得最大值,则的取值范围是()
ABCD
10.若定义在上的函数满足:对于任意有,且时,有,设在区间上的最大值,最小值分别为,则的值为( )
A.B.C.D.
11.函数,则下列说法中正确命题的个数是( )
①函数有3个零点;
②若时,函数恒成立,则实数的取值范围是;
③函数的极大值中一定存在最小值;
④,,对于一切恒成立.
A.B.C.D.
12.已知函数在上非负且可导,满足,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
第II卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立,且,则________;
14.不等式组表示的平面区域为,若对数函数上存在区域上的点,则实数的取值范围是__________.
………………………………………
15.关于的方程的两实根为,若,则的取值范围是________16.如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,
它们是由整数的倒数组成的,第行有个数且两端的数
均为,每个数是它下一行左右相邻两数的
和,如,,,…,
则第10行第3个数(从左往右数)为____.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
记函数的定义域为A,的定义域为B.(1)求集合A;(2)若,求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)
在数列中,已知,其前项和满足.
(1)求的值;(2)求的表达式;
(3)对于任意的正整数,求证:.
19.(本小题满分12分)年世博会在上海召开,某商场预计年从月起前个月顾客对某种世博商品的需求总量;
(1)写出第个月的需求量的表达式;
(2)若第个月的销售量(单位:件),每件利润,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达到最大值?月利润的最大值是多少?
20.(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若在恒成立,求的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知直线,,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(,)的动直线交椭圆于、两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若,且在上恒成立,求实数的取值范围
2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试
理科数学参考答案
一.1-----12 CDCA C BDACD BA
二. 13.1 14.15.16.
三.17.解析:(1);(2)
18. [解析] 1.(1) 依次令可得,,;
(2) 法一:由⑴猜想,下面用数学归纳法证明:①当时结论显然成立;②假设时结论成立,即,则
,故当时结论成立。综上知结论成立。
法二:猜想,下面用第二数学归纳法证明:①当时结论显然成立;②假设时结论成立,即,则
法三:,所以,同除得,时,,故,因此。又,故。
(3)法一:由(2) 知为等差数列,故。由知一定时,要使最小,则最大。显然
,故,因此,两边同除从而。
法二:因为,所以,,故,所以因此,从而,即。
法三:(i) 当时不等式显然成立;
(ii)假设时不等式成立,即
,则如“法二” 可证,故
,即当时不等式成立。综上得证。
19.解:(1)当时,; (2分)
当时,也满足,
故(4分)
(2)设该商场第个月的月利润为元,则
①当且时,
,由,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,
, (8分)
②当且时,
,由,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,
, (11分)
综上,第个月时,最大利润为元 (12分)
20.解:(Ⅰ)
当时,单调递减,
单调递增。
当时,单调递增。 …………………4分
(Ⅱ),得到
令已知函数
单调递减,单调递增。
,即,
在单调递减,
在,,若恒成立,则。……………12分
21.【解析】(Ⅰ)则由题设可求的, ………………………2分
又
所以椭圆C的方程是. ………………………………………4分
(Ⅱ)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在,设其方程为,
将它代入椭圆方程,并整理,得.……………………………5分
设点A、B的坐标分别为,则
因为及
所以
……………………8 分
当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T, ……………………9分
所以解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). ………………………………………………10分
当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1).
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件. ……………………………………12分
解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是………………………………6分
由解得.
由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1). ………………………………7分
事实上点T(0,1)就是所求的点. 证明如下:
当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为,过点T(0,1);
当直线l的斜率存在,设直线方程为,
代入椭圆方程,并整理,得……………8分
设点A、B的坐标为,则
因为,
所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1)……………………………11分
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件. …………………………………12分
22.[解析] (Ⅰ) 由,
当时,则有函数在区间单调递增;
当时,,,
函数的单调增区间为,单调减区间为,
综合①②的当时,函数的单调增区间为;
当时,函数的单调增区间为,单调减区间为. (5分)
(Ⅱ) 函数定义域为,
又,
令,
则,(7分)
,
故函数在上单调递减,在上单调递增,
,(8分)
有由(1)知当时,对,有,
即,
当且趋向0时,趋向,
随着的增长,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时,趋向,得到函数的草图如图所示,
故①当时,函数有两个不同的零点;
②当时,函数有且仅有一个零点;
③当时,函数无零点;(10分)
(3)由(2)知当时,,故对,
先分析法证明:
要证
只需证
即证
构造函数
故函数在单调递增,
,
则成立. (12分)
①当时,由(1)知,函数在单调递增,则在上恒成立.
②当时,由(1)知,函数在单调递增,在单调递减,
故当时,,所以,则不满足题意.
综合①②得,满足题意的实数的取值范围. (14分)