山西省运城市康杰中学2018届高考模拟（二）数学（文）试卷

康杰中学2017—2018高考数学（文）模拟题（二）

命题人：张清泉 张 兵 张成武

2018.5

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）

1. 设集合，则满足的集合B的个数是
   A. 2B. 3C. 4D. 5

2. 若复数为纯虚数，则＝

A.B. 13C. 10D.

3. 已知，则＝

A.　　　　B.　　　　C.　　　D.

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值是
A. -1 B. 2
C.D. 1

5. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则
A. 6B. 9C. 3D. 4

6. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位

7. 不等式组，表示的平面区域的面积为，则＝
A.B. 1C. 2D. 3

8. 如图1，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE, △CDF, △BEF折起，使A，C，B三点重合于G，所得三棱锥G－DEF的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为
A.B.
C.D.

9. 已知，则

A.B.C.D.

10.是函数的零点，，则①②③④，其中正确的命题为

A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

11．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后

人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为

x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为

A．(－4，0)B．(－3，-1) C．(－5，0) D．(－4，-2)

12．定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少三个零点，则的取值范围是

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 若向量满足的夹角为.

14. 已知，现向集合A所在区域内投点，则该点落在集合B所在区域内的概率为.

15．三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，则三棱锥的内切球半径为.

16. △ABC中，角A、B、C所对的边a,b,c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC=.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知等比数列的公比，，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC的中点。

1. 在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置。
2. 求平面ADM将四棱锥P-ABCD分成的上、下两部分的体积比。

1. （本小题满分12分）

中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质材料。进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探。由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用。勘探初期数据资料见下表：

井号	1	2	3	4	5	6
坐标	（2,30）	（4,40）	（5,60）	（6,50）	（8,70）	（1，y）
钻探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程y=6.5x+,求，并估计的预报值；

（2）现准备勘探新井7（1,25），若通过1、3、5、7号井计算出的的值（）

相比于（1）中的值之差都不超过%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？

（参考公式和计算：）

（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有井号1~6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰有2口是优质井的概率。

20.（本小题满分12分）

如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（1）求曲线在处的切线方程;

（2）证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4─4：坐标系与参数方程选讲]（10分）

在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的普通方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最大值为

（1）求实数的值；

（2）若求的最小值.

数学（文）

一、选择题

1. C 【解析】集合B可以为{3，4}，{3，4，1}，{3，4，2}，{3，4，1，2}.
2. A 【解析】,则，即.
3. A【解析】，则.
4. B【解析】由题意得，S＝，故输出的S的值为2，选B.
5. A【解析】方法一：特值法：的重心，
   ，
   方法二：设，
   ，
   
6. C 【解析】，，
   
   
7. C 【解析】即，过定点B（2，0），且，
   则，则.
8. B【解析】设正视图的高为h，

正视图

9．C 【解析】

10. B 【解析】设，则交点在

，当，

当时，.

综上，为减函数，.

11.A【解析】设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为(，)，代入欧拉直线得，－＋2＝0，整理得m－n＋4＝0　①.AB的中点为(1，2)，k_AB＝＝－2，AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，联立解得所以△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)²＋(n－1)²＝10，整理得m²＋n²＋2m－2n＝8　②，联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，所以点C的坐标为(－4，0)．

【解析】

二、填空题：

13.【解析】由得，，即

，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.

14.【解析】因为几何A所表示的区域的面积为46=24，集合B所表示的区域

15.【解析】如图所示：

设球心O到各面的距离为R. 4×S×R=VA—BCD，∵S=×6×4=12， VA—BCD=2VC—ABE=6.∴4××12R=6. ∴R=. 16.【解析】设A为最大角，则① ，则② 由①②得.

三、解答题

17.解：，，

又成等差数列，，

，，

①

②

1. -②：

18.解：（1）N为PB的中点，截面如图所示。………………………………4分

（2）因为MN是△PBC的中位线，BC＝1，所以，且……………（6分）

所以梯形ADMN的面积为……（7分）

点P到平面ADMN的距离为P到直线AN的距离，（8分）

所以四棱锥P－ADMN的体积……………（9分）

而四棱锥P－ABCD的体积……………（10分）

所以四棱锥被截的下面部分的体积……………（11分）

所以平面ADM将四棱锥P－ABCD分成的上、下两部分的体积比……（12分）

20. 解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，

∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，……………2分

∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，

∴，∴M的轨迹C的方程为．……………4分

（2）与以EP为直径的圆x²+y²=1相切，则O到即直线AB的距离：

，即，……………5分

由，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²﹣2=0，……………6分

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴△=16k²m²﹣8（1+2k²）（m²﹣1）=8k²＞0，k²＞0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，……………7分

又，∴，∴，

设μ=k⁴+k²，则，∴，…10分

∵S_△AOB关于μ在单调递增，∴，

∴△AOB的面积的取值范围是………12分

21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

………2分

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故曲线在处的切线方程为;………4分

(2)证明：由(1)知，f(x)＝e^xlnx＋e^x－1，

从而f(x)>1等价于xln x>xe^－x－.………6分

设函数g(x)＝xlnx，

则g′(x)＝1＋lnx，

所以当x∈时，g′(x)<0；

当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.………8分

设函数h(x)＝xe^－x－，则h′(x)＝e^－x(1－x)．

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.………10分

因为g_min(x)＝g＝h(1)＝h_max(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.………12分

22.解:圆的参数方程为

圆的普通方程为

化圆的普通方程为极坐标方程得

设,则由解得，

设,则由解得，

23.解：由

当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即

则