山西省运城市康杰中学2018届高考模拟（二）数学（理）试卷

康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（二）

命题人：张清泉 张 兵 张成武

2018.5

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）

1. 设集合，则满足的集合B的个数是
   A. 2B. 3C. 4D. 5

2. 若复数为纯虚数，则＝

A.B. 13C. 10D.

3. 已知，则＝

A.　　　　B.　　　　C.　　　D.

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值是
A. -1 B. 2
C.D. 1

5. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则
A. 6B. 9C. 3D. 4

6. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D.向右平移个单位

7. 不等式组，表示的平面区域的面积为，则＝
A.B. 1C. 2D. 3

8. 如图1，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE, △CDF, △BEF折起，使A，C，B三点重合于G，所得三棱锥G－DEF的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为
A.B.
C.D.

9. 设，则二项式展开式的常数项是（ ）
A. 160B. 20C. -20D. -160

10.是函数的零点，，则①②③④，其中正确的命题为

A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

11．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后

人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为

x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为

A．(－4，0)B．(－3，-1) C．(－5，0) D．(－4，-2)

12.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少三个零点，则的取值范围是

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 若向量满足的夹角为.

14. 1000名学生成绩近似服从正态分布N(100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为
.[注：正态总体在区间
内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]

15.三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，则三棱锥的内切球半径.

16. △ABC中，角A、B、C所对的边a,b,c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC=.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知等比数列的公比，，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且,

，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．

利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）

20.（本小题满分12分）

如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（1）求曲线在处的切线方程;

（2）证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4─4：坐标系与参数方程选讲]（10分）

在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的普通方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最大值为

（1）求实数的值；

（2）若求的最小值.

一、选择题

1. C【解析】集合B可以为{3，4}，{3，4，1}，{3，4，2}，{3，4，1，2}.

2. A 【解析】,则，即.

3. A【解析】 ，则.

4. B【解析】由题意得，S＝，故输出的S的值为2，选B.

5. A【解析】方法一：特值法：的重心，

，

方法二：设，

，

6. C 【解析】，，

7. C 【解析】即，过定点B（2，0），且，

则，则.

8. B【解析】设正视图的高为h，

正视图

【解析】

10. B 【解析】设，则交点在

，当，

当时，.

综上，为减函数，.

11.A【解析】设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为(，)，代入欧拉直线得，－＋2＝0，整理得m－n＋4＝0　①.AB的中点为(1，2)，k_AB＝＝－2，AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，联立解得所以△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)²＋(n－1)²＝10，整理得m²＋n²＋2m－2n＝8　②，联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，所以点C的坐标为(－4，0)．

【解析】

二、填空题：

13.【解析】由得，，即

，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.

14. 23 【解析】

在之间的为954.

在120分以上的为.

15.【解析】如图所示：

设球心O到各面的距离为R. 4×S×R=VA—BCD，∵S=×6×4=12， VA—BCD=2VC—ABE=6.∴4××12R=6. ∴R=. 16. 【解析】 设A为最大角，则① ，则② 由①②得.

三、解答题

17.解：，，

又成等差数列，，

，，

①

②

1. -②：

18.解（1）证明：取CD 中点N，连结MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．………………2分

所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，

所以FN∥平面BDE，又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．

又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．………………4分

（2）解：取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．

因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．

因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．

因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，

以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz.……6分

由题意得，A（2，0，0），，，D（﹣2，0，0），，

设平面的法向量为

则，即，令．

则所以．…………8分

设平面的法向量为

则，即，令．

则所以

二面角平面角的正弦值为.……12分

19.解：（1）数据整理如下表：

从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，

80岁及以上应抽取：8×=3人，80岁以下应抽取：8×=5人．……2分

（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：

用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，

80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．……………4分

（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，

，，

，……………8分

则随机变量X的分布列为：

X	0	120	200	220	300
P

……………10分

全市老人的总预算为28×12×66×10⁴=2.2176×10⁸元．

政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．……………12分

20. 解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，

∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，……………2分

∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，

∴，∴M的轨迹C的方程为．……………4分

（2）与以EP为直径的圆x²+y²=1相切，则O到即直线AB的距离：

，即，……………5分

由，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²﹣2=0，……………6分

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴△=16k²m²﹣8（1+2k²）（m²﹣1）=8k²＞0，k²＞0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，……………7分

又，∴，∴，

设μ=k⁴+k²，则，∴，…10分

∵S_△AOB关于μ在单调递增，∴，

∴△AOB的面积的取值范围是………12分

21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

………2分

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故曲线在处的切线方程为;………4分

(2)证明：由(1)知，f(x)＝e^xlnx＋e^x－1，

从而f(x)>1等价于xln x>xe^－x－.………6分

设函数g(x)＝xlnx，

则g′(x)＝1＋lnx，

所以当x∈时，g′(x)<0；

当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.………8分

设函数h(x)＝xe^－x－，则h′(x)＝e^－x(1－x)．

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.………10分

因为g_min(x)＝g＝h(1)＝h_max(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.………12分

22.解:圆的参数方程为

圆的普通方程为

化圆的普通方程为极坐标方程得

设,则由解得，

设,则由解得，

23.解：由

当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即

则