山西省运城市康杰中学2018届高考模拟（四）数学（文）试卷

康杰中学2018年数学（文）模拟试题（四）

命题人：雷佩娟 解 晓 卢丽山

【满分150分，考试时间120分钟】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数的实部为
   1. -1B. 0C. 1D. 2
2. 设集合，集合，则等于
   1. B.C.D. R
3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是
   1. 492B. 382C. 185D. 123
4. 给出下列四个结论：
   ①命题“.”的否定是“.”；
   ②“若，则.”的否命题是“若则.”；
   ③若是真命题，是假命题，则命题中一真一假；
   ④若，则是的充分不必要条件.
   其中正确结论的个数为
   1. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知，则
   1. B.
      C.D.
6. 已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则
   的取值范围是
   1. B.
      C.D.
7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为
   1. B.
      C.D.
8. 已知与为单位向量，且，向量满足＝2，则｜｜的取值范围为
   1. B.
      C.D.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是
   1. B.C.D.
10. 设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是
    1. B.C.D.
11. 如图，在中，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥. 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是
    1. B.C.D.
12. 设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的的取值范围是
    1. B.C.D.
       二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.
14. 已知向量若，则向量的概率为_______.
15. 在△中，分别是内角A，B，C的对边且B为锐角，若，，则的值为________.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为__________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考

题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

已知数列满足，等差数列满足.

（1）记，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.（12分）

已知四棱锥的底面为菱形，且

为AB的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

19.（12分）

设关于某产品的明星代言费（百万元）和其销售额（百万元），有如下表的统计表格：

表中

（1）在给出的坐标系中，作出销售额关于广告费的回归方程的散点图，根据散点图指出：哪一个适合作销售额关于明星代言费的回归方程（不需要说明理由）；并求关于的回归方程（结果精确到0.1）

（2）已知这种产品的纯收益（百万元）与，有如下关系：，用（1）中的结果估计当取何值时，纯收益取最大值？

附：对于一组数据其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

20.（12分）

已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.

21．（12分）

已知函数.

（1）时，求在上的单调区间；

（2）且恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（10分）

选修4—4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设与交于两点（异于点），求的最大值.

23.（10分）

选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）若，求的取值范围；

（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.

A卷1—5 BDDCC 6—10 CABBA 11—12 AB

B卷1—5 ACCBB 6—10 DBDDC 11—12 BC

1. 解析由复数的性质可求得
2. 本题考查集合的运算，指数函数，对数函数的基本性质.
   解析，故
3. 本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识
   解析
4. 本题考查了命题真假判断、充要条件等基础知识
   解析①②③对，④错
5. 解析由得：，则
6. 解析本题考查线性规划.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数，变形为只在处取得最大值，则或，可得或，由时在点处取得最大值，所以
7. 本题考查三视图还原直观图的方法，几何体体积的计算，考查空间想象能力及运算求解能力.
   解析如图，在棱长为2的正方体中，点为正方体的顶点，点为所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥，分析知四棱锥的侧面底面，点到直线的距离即为棱锥的高，易求得为，故四棱锥的体积为
8. 解析本题考查向量的几何运算及向量的模。因为与为单位向量，且⊥，故可设又＝2，∴∴，即，其表示圆心为（1，1），半径的圆，∴.
9. 解析本题考查三角函数的图象变换与性质.易知由经向左向下平移后，得到由已知得函数的最小正周期为，则，当时，，，解得.
10. 解析
    
11. 解析本题考查三棱锥外接球表面积计算，由题意可得是边长的正三角形，且平面.设三棱锥外接球的球心为外接圆的圆心为则平面，所以四边形为直角梯形，由及，可得故，即外接球的半径为，则其表面积为.
12. 解析本题考查导数的应用.设，则，即函数在R上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于，即函数过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数上，所以有，所以，而不等式即，即所以，故使得不等式成立的的取值范围是.
13. 2
14. 
    
15. 解析
16. 解析本题考查椭圆离心率的求法：因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知～，由得，所以所以，代入椭圆方程得，即又，所以，所以椭圆离心率为.

17.解：（1）由题意知2分

于是，

故数列的公差为3，故，4分

所以6分

（2）由（1）知，数列为等差数列.

12分

18.证明：

19.解：（1）散点图如图所示

根据散点图可知适合作销售额关于

明星代言费的回归方程。4分

令，则是关于的线性回方

方程

∴

7分

∴8分

（2）

9分

对恒成立

∴时取得最大值11分

即当明星代言费百万元时，纯收益最大值12分

20.解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线。2分

，抛物线方程为：4分

（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为．

由题意可设直线的方程为，

由得.

.6分

因为直线与曲线于两点，所以，

所以点的坐标为.

由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.7分

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，

整理得.

于是，直线恒过定点；（10分）

当时，直线的方程为，也过点．11分

综上所述，直线恒过定点．12分

21.解：

12分

11分

8分

7分

5分

22.解：

（1）曲线的普通方程为

化简得，则，所以曲线的极坐标方程为

4分

（2）由直线的参数方程可知，直线必过点，也就是圆的圆心，则

不妨设，其中

则

所以当时，取得最大值为. 10分

23.解：

（1）

若，则，得，即时恒成立；

若，则，得，即；

若，则，得，即不等式无解.

综上所述，的取值范围是. 5分

（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需

当时，

∵，∴当时，

则，解得，结合，所以的取值范围是10分