山西省运城市康杰中学2018届高考模拟（一）数学（理）

康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（一）

命题人：冯伟杰李清娟

2018.4

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则中元素的个数是

1. B.C.D.

2．是虚数单位，复数满足，则

A.或B.或C.D.

3．设向量与的夹角为，且，，则＝

A.B.C.D.

4．已知，则

A.B.

C.D.

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为

A.

B.

C.

D.

6．已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

7．执行如图所示的程序框图，则输出的

A.B.C.D.

8．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则

A.B.C.D.

9．设实数满足约束条件，则的最小值为

A.B.C.D.

10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为

A.B.C.D.

11．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为

A.B.C.D.

12．已知函数，则使得成立的的取值范围是

A.B.

C.D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线与所围成的封闭图形的面积为.

14．已知是等比数列，，则.

15．设为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为.

16．已知是函数在内的两个零点，则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在中,角所对的边分别为.

已知.

（I）求；

（II）若，的面积为，求.

18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

（I）在答题卡上填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

	文科生	理科生	合计
获奖
不获奖
合计

（II）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.

附表及公式：，其中

19.（12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.

（I）证明：平面；

（II）若，求二面角的余弦值.

20.（12分）已知抛物线，圆.

（I）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；

（II）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.

21.（12分）已知函数，.

（I）求函数的最大值；

（II）当时，函数有最小值，记的最小值为，求函数的值域.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（I）求曲线的极坐标方程；

（II）若射线与曲线的公共点分别为，求的最大值．

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（I）当时，求不等式的解集；

（II）如果对于任意实数，恒成立，求的取值范围．

1. B【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.
2. C【解析】因为，所以
   ，解得，所以，故选C.
3. A【解析】因为，所以，所以

，故选A.

4．D【解析】因为，所以＝，故选D.

5. B【解析】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选B.

6. A【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则

，所以数列是等差数列.

若数列是等差数列，设其公差为，则，不能推出数列是等差数列.所以数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.

7．C【解析】第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得，…，以此类推，知该程序框图的周期3，又知当退出循环，此时共循环了39次，所以输出的，故选C.

1. D【解析】有题，得，，所以，故选D.
2. B【解析】作出可行域，如图所示，因为表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，.故选B.
   
3. A【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为，则球的半径为，所以所求体积比为，故选A.
4. A【解析】易证得∽，则，即
   ；同理∽，
   ，所以，又，所以，整理，得，故选A.
5. D【解析】因为，所以是偶函数，又在单调递减，在单调递增，所以等价于，解得，或.故选D.
6. 【解析】由题意，所围成的封闭图形的面积为.
7. 1【解析】设数列的首项为，公比为，则依题意，有，解得，所以.
8. 【解析】由题意，知①，又由椭圆的定义知，＝②，联立①②，解得，，所以＝，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为.
9. 【解析】因为，其中

（），由函数在内的两个零点，知方程在内有两个根，即函数与的图象在内有两个交点，且关于直线对称，所以＝，所以.

1. 解：（I）由已知及正弦定理，得

，4分

因为，所以，5分

又因为，所以. 6分

（II）由余弦定理，可得，将代入上式，得，解得，10分

的面积为，解得. 12分

18．解（I）

3分

，5分

所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.6分

（II）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为.7分

的所有可能的取值为，且.8分

(). 9分

所以的分布列如下

11分

.12分

19．解：（I）连接，则和都是正三角形，取中点，连接，.

因为为的中点，所以在中，，

因为，所以，

又因为，所以平面，

又平面，所以.

同理，

又因为，所以平面.6分

（II）以为坐标原点，分别以向量的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，.

设平面的法向量为，，即，

取平面的法向量. 9分

取平面的法向量. 10分

＝. 11分

所以二面角的余弦值是. 12分

20.解：（I）由题意，得，从而.

解方程组，得，所以. 5分

（II）设，则切线的方程为，

整理得6分

由得，所以，

整理，得且，8分

所以

，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为，此时. 12分

21.解：（I）的定义域为，.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以当时，取得最大值. 4分

（II），由（I）及得：

①若，，，单调递减，

当时，的最小值.6分

②若，，，

所以存在，且，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值.9分

令，.，

当时，，所以在单调递减，此时，即

. 11分

由①②可知，的值域是. 12分

22．解：（I）曲线的极坐标方程为，

曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为.4分

（II）设，，因为是射线与曲线的公共点，所以不妨设，则，，6分

所以

，8分

所以当时，取得最大值. 10分

23．解：（I）.

所以，在上递减，在上递增，

又，故的解集为.4分

（II）①若，

，

当且仅当时，取等号，故只需，得.6分

②若，，，不合题意.7分

③若，

，

当且仅当时，取等号，故只需，这与矛盾.9分

综上所述，的取值范围是.10分