2021浙江高考数学难不难
06月08日
数学(文科)
参考公式:
棱锥的体积公式V=sh,其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高
独立性检测中,随机变量
分类变量X与Y有关系的可信度表:
… | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | … | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
一、选择题
1.在复平面内,复数(是虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.函数的定义域为( )
A.B.()C.D.()
3、已知向量,,若与垂直,则等于
6.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,
得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ( )
A.57.2, 3.6 B.57.2, 56.4 C.62.8, 63.6 D.62.8, 3.6
7.从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.② ④ C.③ D.① ③
8.已知条件,条件,则是的:
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.下列函数中,满足“对任意,,当时,都有
”的函数是( )
A.B.C.D.
10、若两个分类变量x和y的列联表为:
y1 | y2 | 合计 | |
x1 | 10 | 45 | 55 |
x2 | 20 | 30 | 50 |
合计 | 30 | 75 | 105 |
则x与y之间有关系的可能性为( )
A.0.1% B.99.9% C.97.5% D.0.25%
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,共20分。
(一)必做题(11~13题)
11.设函数为奇函数,则.
12.在边长为a的正方形ABCD内任取一点P,则P到点A的距离大于a的概率是
13.阅读下边的程序框图,若输入的n是100,则输出的变量S和T的值依次是___和________
(14题)
(13题)
(二)选做题:考生从以下两题中选做一题,两题均做的,按第一题给分
14.(《几何证明选讲》选做题)如上图,点是圆上的点, 且,则圆的面积等于 . 15. (《坐标系与参数方程》选做题)已知直线的极坐标方程为,则它与曲线(为参数)的交点的直角坐标是 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
16. (本小题满分12分)
设函数的图象经过点.
(Ⅰ)求的解析式,并求函数的最小正周期和最值.
(Ⅱ)若,其中是面积为的锐角的内角,且,求和的长.
17. (本小题满分12分)围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
18.(本小题满分14分)某校高三数学竞赛初赛考试后,对90分以上(含90分)的
成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示.若130~140分数段的人数为2人.
(Ⅰ)估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数;
(Ⅱ)估计参赛学生成绩的中位数;
(Ⅲ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二
组、…、第五组)中任意选出两人,形成帮扶学习小组.若选出的两人成绩之差大于20,则称这两人为“黄金搭档组”,试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.
19.(本小题满分14分)如图,矩形中,平面ABE
为上的点,且平面,
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;(3)求三棱锥的体积.
20.(本小题满分14分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60,
且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公an及前n项和Sn;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列{}的前n项和Tn.
17. (1)如图,设矩形的另一边长为a m,
则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+-360(x>0).
(2)∵x>0,∴225x+≥2 =10 800.
∴y=225x+-360≥10 440.
当且仅当225x=时,等号成立. 即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元.
19. (1)证明:∵平面,,∴平面,∴. …2分
又 ∵平面, ∴,
∵,∴…………………………4分
(2)证明:连结,∵平面, ∴
∵, ∴为的中点;∵ 矩形中,为中点,
∴. …… ………………………………………7分
∵, ∴平面. ……8分
(3)解:取中点,连结,∵,∴
∵平面,∴∴……10分
∵平面,∴,∴…11分
∴,故三棱锥的体积为:
…13分
21.(Ⅰ)依题意,得
由得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故
令,则或
①当时,
当变化时,与的变化情况如下表:
+ | — | + | |
单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |
由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为
(Ⅲ)当时,得
由,得
由(Ⅱ)得的单调增区间为和,单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线,故在内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点
另:也可由解得
所以线段与曲线有异于的公共点