江西省南昌市2016届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

NCS(南昌市)20160607项目第一次模拟测试卷

数 学（理）

第I卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1. 设复数z₁，z₂在复平面、内的对应点关于实轴对称，z₁=1+i，则z₁z₂=
   1. -2 (B)2 (C)1一i(D)1+i

(2)已知集合A={x|y=），B= {y| y=ln（1-x）}，则AB=

(A) [0,1] (B) [0,1) (C) (一∞,1] (D) (一∞,1)

(3)已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x³+sinx的图像关于原点

中心对称，则下列命题是真命题的是

(A)pq (B) p q (C)(p)(q) (D)p (q)

(4)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据

(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(X₃，y₃)，(x₄，y₄)，(x₅，y₅)．根据收集到的数据可知x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=150，

由最小二乘法求得回归直线方程为= 0.67x+ 54.9，则y₁+y₂+y₃+y₄+y₅的值为

(A)75 (B)155.4

(C)375 (D)466.2

(5)(x²一x+1)³展开式中x项的系数为

(A) -3 (B) -1

(C)1 (D)3

(6)从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，

则输出的x不小于40的概率为

(A)(B)

(C)(D)

(7)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为

(A)(B) （C)1 (D)2

(8)甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l门不相同的选法共有

(A)30种 (B)36种 (C)60种 (D)72种

(9)已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交

点，若FP=3FQ，则|QF|=

(A)(B)

(C)3 (D)2

(10)如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的

三视图，则这个几何体的体积为

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(11)已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x₀，y₀)，且y₀0+2，则的取值范围是

(A)[一，0） (B)（一，0）

(C)（一，+∞） (D)（一∞，一）（0,+∞)

(12)已知函数f(x)的定义域为D，若对于a，b，c∈D，．f(a)，f (b)，f(c)分别为某个三角形的

三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出‘F列四个函数：

①f(x)f=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx，③f(x)=(1≤x≤8)，④f(x)=，

其中为“三角形函数”的个数是

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

第II卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22

题～第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

(13)已知向量a=(1，)，向量a，c的夹角是，a·c=2，则|c|等于 。

(14) 数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+S_n一1=2n-l (n>2)，且S₂=3，则a₁+a₃的值为 。

(15)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体

ABCD外接球表面积为____．

(16)已知抛物线C:x²=4y的焦点为F，过点F且斜率为l的直线与抛物线相交于M，N两点．设

直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

已知函数f(x)=（sinx+ cosx）cosx一（xR，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．

( I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)

的取值范围．

(18)（本小题满分12分）

某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从

上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的

同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩

的频数分布如下表：

(I)由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不

低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．

(II)在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人

数为X，求X的分布列及数学期望．

下面的临界值表供参考：

(19)（本小题满分12分）

如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1

DC=SD=2， E为棱SB上的一点，且SE=2EB．

(I)证明：DE⊥平面SBC；

(II)证明：求二面角A- DE -C的大小。．

(20)（本小题满分12分）

已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直

线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线

CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．

(i)求k₁k₂的值： (ii)求OB²+ OC²的值．

(21)（本小题满分l2分）

已知函数f(x)=lnx+x²一2ax+1．（ a为常数）

(I)讨论函数f(x)的单凋性；

(II)若存在x₀∈(0，1]，使得对任意的a∈(-2，0]，不等式2me^a+f(x₀）>a²+2a+4（其中e为自然对数

的底数）都成立，求实数m的取值范围．

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，

则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图， 圆M与圆N交于A， B两点， 以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、

D两点，延长DB交圆M于点E， 延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10.

(I)求AB的长；

（II）求。

(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

己知曲线C的极坐标方程是ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．

( I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

( II)若直线，与曲线c相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角a的值．

(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=的最大值为M.

(I)求实数M的值；

(II)求关于x的不等式|x一|+| x+2|≤M的解集。

NCS20160607项目第一次模拟测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

答案：（1）（B） （2）（C） （3）（B） （4）（C） （5）（A） （6） （B）

（7）（D） （8）（A） （9）（A） （10）（D） （11）（D） （12）（B）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

答案：（13）（14）（15）（16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

解：（I）

．

，．由，

得．

∴的单调递增区间为------------------（6分）

（Ⅱ）由正弦定理得，， ∴．

∵，∴．

或：，，∴．

又，

．．------------------（12分）

(18)（本小题满分12分）

解：(I)依题意得

因此有%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试 “过关”有关.（6分）

（II）在期末分数段[105,120）的5人中，有3人 测试“过关”，随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为的可能取值为

X

X的分布列为：

------------------（12分）

(19)（本小题满分12分）

解：分别以，，所在直线为x轴，轴，z建立空间直角坐标系（如图），

则，

（Ⅰ）∵SE=2EB，

∴

又

∴

∴

又∴DE平面SBC----------（6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE⊥平面SBC，

∵平面SBC，∴

当时，知，，
取中点，则，

故，由此得FA⊥DE

∴向量与的夹角等于二面角的平面角

又，

∴二面角的大小为.------------------（12分）

(20)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点，则

由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长

为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离

（*）………………………1分

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴,， 代入（*）式得，，

故所求椭圆方程为………………………………………4分

（Ⅱ）（i）设，则，

于是--（8分）

（ii）方法一由（i）知，，故．

所以，

即，所以，．

又，故．

所以，OB²+OC²．------------------（12分）

方法二 由（i）知，．将直线方程代入椭圆中，

得．同理，．

所以，．

下同方法一．------------------（12分）

(21)（本小题满分12分）

解：（I），记

（i）当时，因为，所以，函数在上单调递增；

（ii）当时，因为，

所以，函数在上单调递增；

（iii）当时，由，解得，

所以函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增．------------------（6分）

（II）由（I）知当时，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数的最大值是，对任意的，

都存在，使得不等式成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

记，由，

，

由得或,因为，所以，

①当时，，且时，，

时，，所以，

所以时，恒成立；

②当时，，因为，所以，

此时单调递增，且，

所以时，成立；

③当时，，，

所以存在使得，因此不恒成立．

综上，的取值范围是． ------------------（12分）

另解（II）由（Ⅰ）知，当时，函数在区间上单调递增，

所以时，函数的最大值是，

对任意的，都存在，

使得不等式成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

记，

由，且

∴对任意的，不等式都成立的必要条件为

又，

由得或

因为，所以，

1. 当时，，且时，，

时，，所以，

所以时，恒成立；

②当时，，因为，所以，

此时单调递增，且，

所以时，成立．

综上，的取值范围是． ------------------（12分）

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）根据弦切角定理，

知，，

∴△∽△，则，

故.--------（5分）

（Ⅱ）根据切割线定理，知，，

两式相除，得（*）.

由△∽△，得，，

又，由（*）得． ------------------（10分）

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（I）由得：------------------（3分）

（II）将代入圆的方程得，

化简得.

设、两点对应的参数分别为、,则,

,

∴,故,即或.------------------（10分）

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：（I），

当且仅当时等号成立． 故函数的最大值---------------（5分）

（II）由绝对值三角不等式可得．

所以不等式的解就是

方程的解．

由绝对值的几何意义得，当且仅当时，．

所以不等式的解集为--------------（10分）