江西省南昌市十所省重点中学2016届高三第二次模拟突破冲刺（一）数学（文）试卷

南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（01）

高三数学（文）

一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是合题目要求的.

1.已知集合，，则为（ ）

1. ［-2，2］ 　B. (0，＋)　C. (0，2］　 D.［0，2］

2.若，且为第三象限角，则的值等于（ ）

A．B．C．D．

3.已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是（ ）

A.B.C.D.

4.设，则“”是“ ”的( )

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

5．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 5[23.5,27.5) 16 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5，39.5)的概率约是( )

A．B．C．D．

6.如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（　　）

　 A． B． C． 2 D． 3

7.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直

8.已知向量的夹角为钝角，则函数的最小值为（ ）

A. 2013 B. 2014 C. 2015 D.2016

9.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

ABCD

10.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）

A．1 B．C．D．2

11.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=60⁰,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π

12. 已知函数f(x)=|log₂x|-m(m>0)的零点分别为x₁,x₂(x₁2),函数g(x)=|log₂x|的零点分别为x₃,x₄(x₃4),则的最小值为(　　)

A.4B.8C.4D.8

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。

14.已知抛物线Γ：y²=4x的焦点为F，P是Γ的准线上一点，Q是直线PF与Γ的一个交点．若，则直线PF的方程为　 　．

15.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC=.

16.设满足约束条件，若的最大值是12，则的最小值是

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）已知中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且数列,(1)求A； (2)求数列的前n项和

18. （本小题满分12分）如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图(b)所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD； (2)求几何体D－ABC的体积．

19.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某中学为了解A 、B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．

（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；

（Ⅱ）从A、B班的样本数据中各随机抽取一个不超过20的数据分别记为，，求的概率．

---

20.（本小题满分12分）已知直线：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x²+y²=a相交于A、B两个不同的点，记与y轴的交点为C．

（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；

（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=2x³-3x.

(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;

(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;

(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)

四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作，分别交于点．
（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若为中点，且，求的长．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线的极坐标方程为，F₁是圆锥曲线的左焦点．直线： (t为参数) ．

（Ⅰ）求圆锥曲线的直角坐标方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与圆锥曲线交于两点，求|F₁M|+|F₁N|．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，.

（1）解关于的不等式；

（2）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围.

---

参考答案

1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. C 7.　C 8.C 9. C 10. A 11.C 12. D

13.

14.或

15.1 16.

17. 【解析】（1）

18. 【解析】(1)证明：在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC²＋BC²＝AB²，

故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，∴BC⊥平面ACD.

(2)解：由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S_△ACD＝2，∴V_B－ACD＝S_△ACD·BC＝×2×2＝，

由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.

19 .解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为

由此估计A班学生每周平均上网时间17小时；B班样本数据的平均值为

由此估计B班学生每周平均上网时间较长．

（Ⅱ）A班的样本数据中不超过20的数据有4个，分别为：9，11，14，20

B班的样本数据中不超过21的数据有2个，分别为：11，12

从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：8种不同情况，

分别为：（9，11），（9，12），，（11，11），（11，12），（14，11），（14，12），（20，11），（20,12）

其中的情况有（9，11），（9，12），（11，11），（11，12），共4种，

故的概率．

20. 【解析】设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

（Ⅰ）由得4x²+2x+1﹣a=0，则x₁+x₂=，x₁x₂=，

则|AB|==，解得a=2．

（Ⅱ）由，得（3+k²）x²+2kx+1﹣a=0，则x₁+x₂=﹣，x₁x₂=，

由=2得（﹣x₁，1﹣y₁）=2（x₂，y₂﹣1），解得x₁=﹣2x₂，代入上式得：

x₁+x₂=﹣x₂=﹣，则x₂=，==，

当且仅当k²=3时取等号，此时x₂=，x₁x₂=﹣2x₂²=﹣2×，

又x₁x₂==，则=，解得a=5．所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x²+y²=5．

21. 【解析】(1)由f(x)=2x³-3x得f'(x)=6x²-3,令f'(x)=0,得x=-或x=.因为f(-2)=-10,f,

f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f.

(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x₀,y₀),则y₀=2-3x₀,且切线斜率为k=6-3,

所以切线方程为y-y₀=(6-3)(x-x₀),因此t-y₀=(6-3)(1-x₀).整理得4-6+t+3=0,

设g(x)=4x³-6x²+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.

g'(x)=12x²-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的情况如下:

x	(-∞,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
g'(x)	+	0	-	0	+
g(x)	↗	t+3	↘	t+1	↗

所以,g (0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.

当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.

当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.

当g(0)>0,且g(1)<0,即-30,

所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.

综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).

(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;

过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.

22. 【解析】（Ⅰ）连结，则，

因为为直径，所以，

因为，所以，所以，所以四点共圆．

（Ⅱ）由已知为的切线，所以，故，

所以，

因为为中点，所以．因为四点共圆，所以，所以．

23.【解析】（Ⅰ）圆锥曲线的普通方程为，所以直线的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数），代入椭圆方程得：

，所以，t₁+t₂=4/5，t₁.t₂=-12/5所以，|F₁M|+|F₁N|=| t₁|+|t₂|=| t₁-t₂|=16/5．10分

24．【解析】（1）由得，

故不等式的解集为

（2）∵函数的图象恒在函数图象的上方

∴恒成立，即恒成立∵，

∴的取值范围为.