浙江省严州中学2015届高三仿真考试数学（理）试卷

严州中学2015届高三仿真考试数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2．已知为两条不同的直线，为一个平面。若则是的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．设函数的图象关于直线对称,它的最小正周期为，则（ ）

A.的图象过点B.在上是减函数

C.的一个对称中心是D.的一个对称中心是

4．在正三棱柱中，若，是中点，则与所成角的大小是（ ）

A．B．C．D．

5．已知数列满足，则=（ ）

A．B．

C．D．

6．若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点 （ ）

A．B．

C．D．

7．设,关于的不等式和无公共解，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

8．抛物线的内接ABC的三条边所在直线与抛物线均相切，设A，B两点的纵坐标分别是，则C点的纵坐标为（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题，9—12每题6分， 13—15题每题4分，共36分。把答案填在答题卷的相应位置。

9. 若经过点的直线与圆相切，则圆的圆心坐标是 ；半径为 ；切线在 轴上的截距是 .

10．命题,，命题，其中真命题的是 ；命题的否定是 .

11. 如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 ；表面积是 .

12. 设函数，则＝

；若，则.

13. 函数的最大值是

.

14．已知向量满足：,,，则在上的投影的取值范围是 .

15. 点P是双曲线上一点，是右焦点，且为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是 .

三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分15分）

在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知a,b,c成等比数列，且．

（I）求角B的大小；

（II）若，求的面积最大值.

17．（本题满分15分）

如图，已知平面

,为等边三角形，

（1）若平面平面，求CD长度；

（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围.

18. （本题满分15分）

已知椭圆，离心率，且过点，

（1）求椭圆方程；

（2）以为直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值.

19.（本题满分15分）

函数，

（1）若时，求的最大值；

（2）设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为2，求的表达式.

20.（本题满分14分）

各项为正的数列满足,，

（1）取，求证：数列是等比数列，并求其公比；

（2）取时令，记数列的前项和为，数列的前项之积为，求证：对任意正整数，为定值.

数学理科参考答案

1-8 CDCC BAAB

9.10.；11.12.或

13.14.15.或

16. 解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则.由正弦定理得.

又，所以.因为sinB＞0，则. ………………4′

因为B∈(0，π)，所以B＝或.

又，则或，即b不是△ABC的最大边，故.………………3′

（II）由余弦定理得

，得∴.

当时，△ABC的面积最大值为

17. 解：（1）设取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为轴建立坐标系，则

易知平面ABE的法向量为

设面ADE的一个法向量为

则可得

所有，所以CD长度为2.

（2）由（1）可知：面ADE的一个法向量，设直线AB与面所成角为，则，所以.

18. 解：（1）由得，把点带入椭圆方程可得：，所以椭圆方程为：

（2）不妨设的方程，则的方程为。

由得：

用代入，可得从而有

于是。

令，有

当且仅当，.

19. 解：（1）令 ，原命题等价于求证在的最大值为而，对称轴，结合函数图象可知：

（2）令，则，

因为，所以，而

而而时，，

结合可知二次函数的顶点坐标为

所以，所以.

20. 证明：（1）

两边同除可得：

因为，所以为常数，故数列是等比数列，公比为

（2）由

所以

所以，故=2为定值.