河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试（5月）数学（理）试卷

洛阳市2016-2017学年高中三年级第三次统一考试

数学试卷（理）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1·已知复数（其中i为虚数单位），则=( )

A．1B．-iC．-1D．i

2．已知集合，，M∩N=( )

A．B．{(3,0),(0,2)}C．[一2,2]D．[一3,3]

3.已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y-l=0和直线x+by-1=0平行”的( )

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件

4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x²+y²=25内的个数为( )

A．2B．3C．4D．5

5．已知数列为等差数列，且，则的值为( )

A．B．C．D．

6．祖冲之之子祖暅是找国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖咂原理，利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体，则截面面积为( )

A．B．C．D．

7．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

A．6038B．6587

C．7028D．7539

附：若，则：

8．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为，最小值为，则实数a的取值范围是( )$来&源：

AA．B．C．D．

9．若空间中四个不重合的平面满足，则下列结论一定正确的是( )

A．B．

C．既不垂直也不平行D．的位置关系不确定

10．设，则的值为( )

A．B．C．D．

11.已知点A足抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )

A．B．C．D．

12．已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则n的取值集合是( )

A．{2,3,4,5}B．{2,3}C．{2,3,5}D．{2,3,4}

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13.已知，，与的夹角为120°，，则与的夹角为 ．

14.等比数列的前n项和为，则．

15．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=2,则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为 ．

16．已知函数，点O为坐标原点，点，向量=(0，1)，是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数，将的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间内的最小值为．

1. 求m的值；
2. 在锐角△ABC中，若，求sinA+cosB的取值范围．

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中点．

1. 求证：A₁B//平面AEC₁；
2. 在棱AA₁上存在一点M，满足B₁M⊥C₁E，求平面MEC₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图：

1. 求甲小区和乙小区的中位数；
2. 身体综合素质测试成绩在60分以上(含60)的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”。以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，

并判断是否有97.5％把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关？

（附：

)

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．

1. 求椭圆C的方程；
2. 若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数．

1. 若a=1，求在x=0处的切线方程；
2. 若在区间[0，1）上单调递减，求a的取值范围；
3. 求证：，（n∈N*）．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铪笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为(m>0)，过点P(-2，-4)且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．

1. 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
2. 若，求m的值．

23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设不等式的解集为M，a，b∈M

1. 证明：；
2. 比较的大小，并说明理由.